제곱근 작도하기

넓이가 $a$인 정사각형의 한 변의 길이는 $\sqrt{a}$이다. 이제 제곱근 $a$를 작도하는 방법을 알아보자.

기하평균 작도하기

가로와 세로의 길이가 각각 $a,\;b$인 직사각형은 넓이가 $ab$이다. 넓이가 $ab$인 정사각형은 아래와 같이 작도한다.

사각형 $ABCD$에서 $\overline{AB}=a,\;\overline{BC}=b$라고 하자.

1. 점 $B$를 중심으로 반지름이 $\overline{BC}$인 원을 그리고 직선 $\overline{AB}$와 교점 $E$를 찾는다.

2. 선분 $\overline{AB}$의 중점 $O$를 찾는다.

3. 점 $O$를 중심으로 반지름이 $\overline{OA}$인 원을 그린다.

4. 점 $B$에서 직선 $AB$와 수직인 직선을 긋고 3에서 그린 원과 만나는 점 $F$를 찾는다.

5. 선분 $BF$를 한 변으로 하는 정사각형 $BFGH$를 그린다.

$$\triangle ABC \sim \triangle FBE$$

$$\overline{AB}:\overline{BF}=\overline{BF}:\overline{BE}$$

$$a:\overline{BF}=\overline{BF}:b$$

$$\overline{BF}^2=ab$$

$$\therefore\;\;\overline{BF}=\sqrt{ab}$$

이런 의미를 가지고 있어서 $\sqrt{ab}$를 $a$와 $b$의 기하평균이라고 부른다.

제곱근 작도하기

수학은 물리와 달리 단위로부터 자유롭다. 예를 들면 $4$를 $4m$인 길이로 생각해도 되지만 $4m^2$으로 생각하면 한 변의 길이가 $2m$인 정사각형의 넓이가 된다. 넓이와 길이를 굳이 따지지 않아도 되므로 창의로운 풀이를 생각할 수 있다. 위에 있는 작도법으로 주어진 양수 $x$의 양의 제곱근인 $\sqrt x$를 쉽게 작도할 수 있다.

넓이를 길이로 또는 길이를 넓이로 만드는 작도법은 아래 그림과 같다.

$\sqrt 6$ 작도하기

위에 있는 작도법으로 제곱근의 곱셈도 작도할 수 있다.

$$\sqrt 2\times \sqrt 3 =\sqrt 6$$

단위 길이 $1$이 주어졌다고 하자.

1. $\overline{OA}=\sqrt 2,\;\;\overline{OC}=\sqrt 3$인 사각형 $OABC$를 만든다.

2. 사각형 $OABC$와 넓이가 같은 정사각형 $ADEF$를 만든다. 넓이는 $\sqrt6$이다.

3. 점 $D$에서 반지름의 길이가 $1$인 원을 그린다.

4. 점 $G,H$를 찾고 점 $H$를 지나고 선분 $DH$와 수직인 직선을 그어서 점 $I$를 찾는다.

$\overline{GI}=\sqrt 6$이다.