곱셈공식은 넓이 구하기::::수학과 사는 이야기

기하와 대수는 수학이란 학문을 지탱하는 커다란 두 기둥이다. 따지고 보면 기하와 대수는 크게 다르지 않다. 오히려 서로를 떼어내기 어려운 부분도 있다.

대수에서 아주 많이 사용하는 곱셈공식을 기하로 생각해 보자. 아래 그림과 같이 곱셈공식은 사각형의 넓이 구하기로 생각할 수 있다. 교과서에 있으니 어쩔 수 없이 수업시간에 따로 다루게 되지만 곱셈공식을 굳이 외울 필요가 없다고 생각한다. 다만 주어진 시간은 짧고 문제는 복잡할 때는 공식을 외우고 있으면 편하다. 또한 곱셈공식을 외우지 않더라도 곱셈을 많이 하다 보면 저절로 외워진다. 구구단을 외우고 싶지 않아도 저절로 외워지듯이 말이다.

$$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\tag{1}$$

$$(a+b)^2=a^2 +2ab+b^2\tag{2}$$

기하에서는 음수를 쓰지 않지만 방향을 부호로 표시했다고 생각하면 대수에서 쓰는 음수도 쉽게 이해할 수 있다. 기하가 심화되면 당연히 벡터로 다루게 되므로 오히려 자연스럽다.

$$(a-b)^2=a^2 -2ab+b^2\tag{3}$$

$$(a+b)(a-b)=a^2 -b^2\tag{4}$$

아래에 있는 그림을 보면 곱셈공식은 모두 하나인 것과 마찬가지임을 알 수 있다. 기하적 의미는 하나이고 다만 모양이 달라짐에 따라 문자만 달라질 뿐이다.

$$(x+a)(x+b)=x^2 +(a+b)x+ab\tag{5}$$

$$(ax+b)(cx+d)=acx^2 +(ad+bc)x+bd\tag{6}$$

결국 모든 곱셈공식은 바로 (1)에서 나왔음을 알 수 있다. 따라서 굳이 곱셈공식을 구분하여 외우지 않아도 된다. 그런데 교과서에서 구분하는 까닭은 아무래도 문제 풀이 시간을 절약하는 방법을 알려주기 위함이다. 우리가 주목해야 하는 것은 (1)에서 다른 공식이 만들어진다는 것인데 급하게 진도만 나가다 보면 이것을 놓치게 된다. 설상가상으로 학원에서 미리 배우고 오는데 계산법만 익히고 와서 교과서 설명에 귀를 닫고 있는 모습을 보면 살짝 안타깝다.

공식 (5)를 아래와 같은 그림으로 생각해 보자. 그림에 있는 두 사각형의 넓이가 서로 같다는 것이 공식이다.