사각수와 곱셈공식

아래에 있는 방정식을 풀어보자.

$$12^2+x=13^2\tag{1}$$

잘 되었다면 아래 방정식은 어떤가?

$$1234^2+x=1235^2\tag{2}$$

답은 2469인데 1초 이상 걸렸다면 실패다.^^

(1)을 해결하는 여러 가지 유형이 있다.

방법

암기를 좋아하는 학생 $144+x=169$에서 $x=25$를 구한다. 이 방법으로 방정식 (2)를 풀기는 매우 힘들다. 상상만으로도 지친다.

방법

인수분해를 좋아한다면 $x=13^2 -12^2=(13-12)(13+12)=25$로 구한다. 이 방법은 방정식 (2)도 쉽게 해결할 수 있으므로  그럴듯하다. 

$$x=1235^2 -1234^2=(1235-1234)(1235+1234)=2469$$

방법

이런 방법은 어떨까? 아래 그림과 같이 제곱수는 정사각형의 넓이를 나타낸다고 생각하는 방법을 추천하고 싶다.

$$1^2=1$$

$$2^2=1^2+1+1+1$$

$$3^2=2^2+2+2+1$$

$$4^2=3^2+3+3+1$$

$$\vdots$$

$$(n+1)^2=n^2 +n+n+1$$

방정식 (1)과 (2)를 아래와 같이 한 변의 길이를 1씩 늘렸을 때 늘어나는 넓이가 얼마인가를 구하는 것으로 해석하면 바로 답이 나온다.

방법

제곱수는 아래 그림과 같이 사각형 모양으로 늘어놓을 수 있으므로 사각수라고 부르기도 한다.

\begin{split}1\\1+2+1=2^2\\1+2+3+2+1=3^2\\1+2+3+4+3+2+1=4^2\end{split}

$$1+2+3+\cdots+(n-1)+n+(n-1)+\cdots+3+2+1=n^2$$

이쯤 되면 제법 창의적인 해결법으로 부를 수 있지 않을까 싶다. 어차피 모두 같은 뜻을 가지고 있지만 다양한 방법으로 문제를 해결하는 과정에서 창의성이 길러진다. 대수적인 방법과 기하적인 방법은 다른 것이 아니다. 이런 여러 가지 방법을 종합하면 더욱 멋진 풀이가 나온다. 고등학교 과정에서는 마침내 수열이 된다. 아래와 같은 합도 구할 수 있게 된다. 

$$1+2^2 +3^2 +4^2+\dots+10^2$$

입으로 곱셈 공식 $(x+1)^2=x^2 +2x+1$을 외우는 일은 별다른 의미가 없다. 하지만 우리나라 중학생 다수가 이런 의미 없는 일에 매달리고 있다. 특히 지나친 선행학습을 하는 아이들이 그렇다. 초등학교와 중학교 과정을 제대로 잘 거치면 고등학교 과정은 생각보다 쉽게 공부할 수 있다. 그런데 자꾸 선행학습에만 매달리는 학생과 학부모가 많다. 선행학습 따위는 잊고 이런 걸 공부하면 좋다. 바둑 격언에 정석을 외웠으면 잊어버리란 말이 있다. 수학 공식도 마찬가지다. 외웠으면 잊어버려야 창의력이 생긴다.

이 블로그에서 사각수, 다각수로 검색하면 더 많은 이야기를 만날 수 있다.