방정식이 별 거냐!

'수학은 아름답다'라고 말했을 때, 긍정하는 이보다 강하게 부정하는 이가 훨씬 더 많다. 많은 사람이 수학이 아름다운 여러 가지 이유를 말하고 있다. 그 가운데 "수학은 세상에서 가장 복잡한 일을 가장 간단한 것으로 해결할 수 있게 한다."라는 말이 마음에 든다. 우주가 운동하는 원리를 밝히는 미적분도 결국은 복잡하고 복잡한 움직임을 순간적으로 일차함수로 나타내는 것이다. 또한 끝없이 같은 말을 되풀이하기 때문에 완벽하게 옳은 논리를 전개할 수 있다. 

관계식(expression of relation)은 등식이나 부등식처럼 좌변과 우변 사이의 관계를 나타내는 식이다.

간단한 등식으로 예를 들어 보자.

$$\begin{align}x&=5\tag{1}\\2x&=10\tag{2}\\2x-3&=7\tag{3}\\5x-3&=3x+7\tag{4}\\\frac{5}{3}x-1&=x+\frac{7}{3}\tag{5}\end{align}$$

(1)~(5)는 모두 같은 식이다. 결국 (1)의 양변에 같은 수를 더하거나 빼거나 곱하거나 나누어 만들 수 있다. 같은 것에 같은 것을 사칙연산해도 여전히 같다. 단 0으로 나누는 것은 제외한다. 물론 같은 것에 같은 것을 더한 전체가 같다는 전제는 필요하다. 이것도 유클리드는 꼼꼼하게 밝혀 적었다. 이야기가 다른 곳으로 샐 수 있으니 너무 따지지 않기로 한다. 

빤히 보이지만 굳이 단계를 적어보자.

(1)의 양변에 2를 곱해서 (2)를 만든다.

(2)의 양변에서 3을 빼서 (3)를 만든다.

(3)의 양변에 $3x$를 더해서 (4)를 만든다.

(4)의 양변을 3으로 나누어 (5)를 만든다.

미지수에 따라 참과 거짓이 결정되는 등식을 방정식이라고 한다. 가장 간단한 표현인 (1)을 다른 방정식 (2)~(5)의 해라고 부른다. 나머지 방정식을 (1)로 정리하는 과정을 방정식을 푼다고 한다. 따라서 모든 방정식을 정리하여 $x=\alpha$를 만드는 과정을 익히는 것이 매우 중요하다. 방정식을 푸는 분야를 보통 대수(Algebra)라고 한다.

중학교 교실에는 (1)을 (5)로 만드는 과정은 쉽게 이해하면서 (5)를 (1)로 만들지 못하는 학생이 더러 있다. 조금만 생각하면 아주 쉬운데 자꾸 뭔가 어려운 과정일 것이라고 지레 겁을 먹었거나 배우는 시기를 놓친 까닭으로 보인다.

$$\begin{align}x-5&=0\tag{6}\\2x-3&=0\tag{7}\\(x-5)(2x-3)&=0\tag{8}\\2x^2 -13x+15&=0\tag{9}\end{align}$$

일차방정식 (6), (7)에서 변변을 곱하여 이차방정식을 만들 수 있다. 차수가 높아지면 (9)를 (8)을 거쳐 해를 구하는 과정이 쉽지 않다. 

부등식도 등식과 크게 다르지 않다.

$$\begin{align}x&>5\tag{1}\\2x&>10\tag{2}\\2x-3&>7\tag{3}\\5x-3&>3x+7\tag{4}\\-\frac{5}{3}x+1&<-x-\frac{7}{3}\tag{5}\end{align}$$

다만 (4)를 $-3$으로 나누어 (5)를 만들 때는 다르다. 부등식의 양변에 음수를 곱하거나 나눌 때는 부등호 방향을 바꾸어야 한다는 것을 기억하면 된다.