폭이 일정한 도형
수학이야기/기하벡터 2014. 3. 18. 11:16볼록다각형에서 '폭(width)'은 어떤 직선 $l$에 수직인 바깥접선에 의해 생기는 선분 AB의 길이다. 바깥접선(supporting line)은 볼록 다각형에서 도형 C와 한점에서 만나는 직선 가운데 도형C가 한쪽에 놓이는 선이다. 도형이 볼록 곡선(convex)이라면 접선(tangent line)은 바깥접선이다.
폭은 방향에 따라서 달라진다. 원은 오직 지름에 의해서 폭이 정해진다. 지름을 '폭'이라고 하면 원은 모든 방향에서 폭이 같다. 원과 같이 폭이 상수인 도형을 '폭이 일정한 도형(Curve of constant width)'이라고 한다.
원과 같이 폭이 일정한 도형을 작도해 보자. 아래와 같이 정삼각형의 세 꼭지점에서 변의 길이를 반지름으로 가지는 원을 그려서 만든 도형은 폭이 정삼각형 한 변의 길이와 같은 '폭이 일정한 도형'이 된다. 이 도형을 뢸로(Reuleaux) 삼각형이라고 부른다.
폭이 $d$인 삼각형의 둘레의 길이는 $d\pi$이다. 일반적으로 폭이 $d$로 일정한 도형의 둘레의 길이는 $d\pi$이다. 폭이 일정한 도형을 굴리면 원과 마찬가지로 구르는 동안 높이가 달라지지 않는다. 폭이 일정한 도형은 거리가 폭과 같은 두 평행선 사이에서 굴릴 수 있다. 그러므로 바퀴를 뢸로 삼각형 모양으로 만들어도 좋을 것이다. 영국의 공학자 와트(H.J. watts)는 뢸로 삼각형으로 사각형 구멍이 뚫리는 드릴을 만들었다. 정사각형 안에서 회전하는 폭이 일정한 도형 가운데 넓이가 가장 큰 것은 원이고 가장 작은 것은 뢸로 삼각형이다.
둥근 형태의 폭이 일정한 도형을 그리는 방법
1. 정삼각형 $OO'O''$를 그린다.
2. $O$를 중심으로 반지름 $\overline{OA}$인 호 ${AB}$를 그린다.
3. $O''$를 중심으로 반지름 $\overline{O''B}$인 호 $BC$를 그린다.
같은 방법을 되풀이 해서 폭이 일정한 도형을 그릴 수 있다.
600px-How_to_make_mathematical_roller_curve_based_on_triangle_sv
