푸앵소의 별

아래와 같은 규칙으로 다각형을 그리기로 한다.

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1. 원을 $n$등분 하는 점을 찍는다.($3 \leq n$)
2. 한 점에서 출발하여 시계 반대 방향으로 $k$번째 점으로 선을 이어 나간다. ($1 \leq k < n$)

          

 그림 1 $n=5 ,\;\; k=1$ 인 경우                                                             그림 2  $n=5,\;\; k=2$ 인 경우       

 

$n=5$일 때 서로 다른 그림은 위에 있는 두 가지가 있다.

이런 다각형 가운데 다각형이 나뉘거나 선분이 그려지는 경우를 제외하고 주어진 $n$개의 모든 점을 한 번에 연결하여 만들어지는 다각형을 '정별다각형'으로 부르기로 하자.(이를 푸앵소의 별로 부르기도 한다.)

wiki Louis Poinsot http://en.wikipedia.org/wiki/Stellation

Stellation - Wikipedia

이제 이들을 서로 구별하기 위해 정별$\displaystyle{\{\frac{n}{k} \}}$각형으로 적기로 한다.

그림은 정별$\displaystyle{\{ \frac{10}{3} \}}$각형이다.

$\overline{AB},\overline{BC}$와 같이 꼭짓점을 잇는 선분을 변, $\angle ABC$처럼 가장 바깥에 있는 각을 내각이라고 하자.

 

 

1) $n=8$일 때, 나타나는 정별다각형을 모두 그리고 임의의 자연수 $n,k(3\leq n, 1\leq k<n )$ 대하여 별다각형이 그려질 수 있는 조건을 적으시오.

풀이 1) $n=8$일 때는 아래와 같이 두 가지가 있다.

                                            

정별$\displaystyle{ \{ \frac{8}{1}\}}$각형                                                         정별$\displaystyle{ \{ \frac{8}{3}\}}$각형

 

$k$와 $n$이 1이 아닌 공약수를 가질 때, 주어진 규칙에 따라 점을 연결하면 $n$개의 모든 점을 지나지 못한다. 다시말해 정별다각형을 그릴 수 없고 도형이 나누어지거나 선이 된다. 따라서 정별다각형을 만들 수 있는 조건은 $k,n$가 서로소일 때이다. $k=m$일 때와 $k=n-m$일 때는 같은 그림이므로 ($1\leq k < \frac{n}{2}$)라고 생각한다. 

정리하면 $gcd(n,k)=1, \; \; 1 \leq k < \frac{n}{2}$이다.

2) 임의의 정별각형의 한 내각의 크기를 구하는 공식을 이끌어내시오.

풀이

정별각형의 한 내각의 크기는 $n$과 $k$에 따라 결정되는 함수이다.

한 내각의 크기를 기호로 $f(n,k)$로 적기로 하자. (함수식으로 표현하지 않아도 상관없다.)

한 점에서 출발하여 일정한 각(외각)을 회전하는 것으로 생각하자.

이 외각의 합 $S$은 $k$에 의해 결정된다.

$S=2k\pi$이다.( $\pi=180^o$로 써도 된다. )

따라서 한 외각의 크기는 $\displaystyle{\frac{2k\pi}{n}}$이다.

그러므로 정별$\displaystyle{\{\frac{n}{k} \}}$각형의 한 내각은 $\displaystyle{f(n,k)=\pi-\frac{2k\pi}{n}=\pi\bigg(1-\frac{2k}{n}\bigg)}$이다.

풀이 2)
먼저 정별{$\displaystyle{\frac{5}{2}}$}각형을 생각해 보자.

변의 양끝 점과 중심을 이은 각을 생각하면

크기는 $k=2$에 따라 결정되는데 $\displaystyle{\frac{2\pi \cdot 2}{5}}$이므로

그림에서 중심각 $\angle GCH$은 $\displaystyle{2 \pi - 2 \cdot \frac{ 2 \pi \cdot 2}{5}}$이다.

이제 일반화 해보자.

한 내각의 크기를 기호로 $f(n,k)$로 적기로 하자.

원의 중심과 이웃하는 두 점을 잇는 중심각을 생각하자.

한 중심각의 크기를 $S$라고 하자. 

$\displaystyle{S=2\pi -2\cdot \frac{2\pi \cdot k}{5}}$이다.

$n$개 내각은 중심각과 같은 현에 대한 원주각이므로 $S=2f(n,k)$이다.

정별$\displaystyle{\{\frac{n}{k} \}}$각형의 한 내각은

$\displaystyle{f(n,k)=\pi-\frac{2k\pi}{n}=\pi\bigg(1-\frac{2k}{n}\bigg)}$이다.