여러 가지 평균의 작도

 $\overline{AC}=a, \; \overline{BC}=b$라고 하면 $a+b$는 쉽게 작도할 수 있다.

이제 수직이등분선을 작도하여 $\displaystyle{\frac{a+b}{2}}$를 반지름으로 하는 원을 그린다.

점 $C$에서 $\overline{AB}$에 수직인 직선을 작도하여 원과 만나는 점 $P$를 찾는다.

 

$\triangle APC \sim \triangle PBC$

이제 닮음비로 길이를 찾아보면

$\overline{AC}:\overline{CP}=\overline{CP}:\overline{CB}$

$\therefore \overline{CP}=\sqrt{ab}$

가로와 세로가 $a,b$인 직사각형과 넓이가 같은 정사각형의 한 변의 길이는 $\sqrt{ab}$이다. 따라서 $\overline{CP}$를 작도할 수 있다는 것으로부터 직사각형과 넓이가 같은 정사각형을 작도할 수 있음을 알 수 있다. 이런 뜻에서 $\sqrt{ab}$를 기하평균으로 부른다.

이제 점 $C$에서 $\overline{OP}$에 수선을 작도하고 수선의 발을 $H$라고 하자.

마찬가지로 닮음비로 길이를 찾아보면

$\triangle POC \sim \triangle PCH$

$\overline{PO}:\overline{CP}=\overline{CP}:\overline{PH}$

$\displaystyle{\therefore \overline{PH}=\frac{2ab}{a+b}}$

이로써 산술평균, 기하평균, 조화평균을 모두 작도하였다.

자연스럽게 아래 부등식이 성립함을 증명하였다.

$$\frac{2ab}{a+b} \leq \sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}$$

등호는 $a=b$일 때 성립한다.

역수가 등차수열이 되는 수열을 조화수열이라고 한다. $a,x,b$가 조화수열이면 $\displaystyle{\frac{1}{a},\frac{1}{x}, \frac{1}{b}}$은 등차수열이 된다. $$\frac{1}{x}-\frac{1}{a}=\frac{1}{b}-\frac{1}{x}$$

$$\therefore \; x=\frac{2ab}{a+b}$$조화중항인 $x$를 조화평균으로 부른다. 

아래와 그림에서 $a,b,c$ 사이 관계를 찾아 보자.

 

$\overline{AC}=x,\;\;\overline{CB}=y$라고 하면

$$bx=c(x+y),\;\;ay=c(x+y)$$

$$y=\frac{bx}{a}$$

$$bx=c\bigg(x+\frac{bx}{a}\bigg)$$

$$b=c\bigg(1+\frac{b}{a}\bigg)$$

$$\therefore\;\;c=\frac{ab}{a+b}$$

아래 그림에서도 $c$는 $a,b$의 조화평균임을 알 수 있다.

$$\overline{AD}//\overline{CE},\;\;\;\overline{CF}//\overline{BD}$$

$$\overline{OA}:\overline{AC}=\overline{OD}:\overline{CD}=\overline{OB}:\overline{CB}$$

$$a:c-a=b:b-c$$

$$bc-ab=ab-ac$$

$$\therefore\;c=\frac{2ab}{a+b}$$

한편, 조화평균, 기하평균, 산술평균은 등비수열을 이름을 쉽게 확인할 수 있다.

부등식

$$\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \leq \sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}$$

는 일반화가 가능하다.

일반적으로 $\forall n\in \mathbb{N}, n \geq 2$와 양수 $a_1, a_2 , \cdots, a_n$에 대하여 아래 부등식은 항상 성립한다.

$$\frac{n}{\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\cdots+\dfrac{1}{a_n}} \leq \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n} \leq \frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}$$

(단, 등호는 $a_1 =a_2=\cdots=a_n$일 때, 성립한다.) 젠센부등식으로 증명

$n=4$일 때 양의 정수 $a,b,c,d$에 대하여 다음이 성립함을 보여라.

$$\frac{4}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}} \leq \sqrt[4]{abcd} \leq \frac{a+b+c+d}{4}$$