원론(Euclid's Elements) 2권

Definitions

Definition 1.Any rectangular parallelogram is said to be contained by the two straight lines containing the right angle. 직사각형은 직각을 끼고 있는 두 변으로 만들었다고 한다. 

 

Definition 2And in any parallelogrammic area let any one whatever of the parallelograms about its diameter with the two complements be called a gnomon. 평행사변형에서 대각선에 있는 한 평행사변형과 남은 부분 둘을 더해서 만든 도형을 그노몬(gnomon:carpenter's square 기역자 모양 도형) 으로 부른다.

 

Propositions

Proposition 1.If there are two straight lines, and one of them is cut into any number of segments whatever, then the rectangle contained by the two straight lines equals the sum of the rectangles contained by the uncut straight line and each of the segments.

직선이 둘 있을 때 하나를 임의의 숫자로 자르면 두 직선으로 만든 직사각형 넓이는 자르지 않은 직선과 잘려진 토막으로 만든 직선들로 만든 직사각형 넓이를 모두 더한 것과 같다. $x(y_1+y_2+\cdot+y_n)=xy_1+xy_2+\cdots+xy_n$

 

Proposition 2.If a straight line is cut at random, then the sum of the rectangles contained by the whole and each of the segments equals the square on the whole.

어떤 직선을 아무 점이나 잡아서 토막 냈다면 원래 직선과 토막들을 가지고 만든 직사각형들 넓이를 더하면 원래 직선으로 만든 정사각형 넓이와 같다. $x^2=x(x-y)+xy$

Proposition 3.If a straight line is cut at random, then the rectangle contained by the whole and one of the segments equals the sum of the rectangle contained by the segments and the square on the aforesaid segment.

어떤 직선을 아무 점이나 잡아서 자르면 그 가운데 한 토막과 전체 직선으로 만든 직사각형 넓이는 그 한 토막으로 만든 정사각형과 토막들을 가지고 만든 직사각형의 넓이를 더한 것과 같다.$a(a+b)=a^2 +ab$

Proposition 4.If a straight line is cut at random, the square on the whole equals the squares on the segments plus twice the rectangle contained by the segments.

어떤 직선을 아무 점이나 잡아서 토막 냈다면 전체 직선으로 만든 정사각형 넓이는 각각의 토막들로 만든 정사각형 넓이에 토막들로 만든 직사각형 넓이의 두 배를 더한 것과 같다.$(a+b)^2 =a^2 +b^2 +2ab$

Proposition 5.If a straight line is cut into equal and unequal segments, then the rectangle contained by the unequal segments of the whole together with the square on the straight line between the points of section equals the square on the half.

직선을 길이가 같게 둘로 자르고 길이가 다르게 둘로 잘랐을 때, 길이가 다른 두 토막으로 만든 직사각형에 자른 점들 사이의 직선으로 만든 정사각형을 더하면 전체 길이의 절반으로 만든 정사각형과 넓이가 같다.

Proposition 6.If a straight line is bisected and a straight line is added to it in a straight line, then the rectangle contained by the whole with the added straight line and the added straight line together with the square on the half equals the square on the straight line made up of the half and the added straight line.

어떤 직선을 이등분한 다음 다른 어떤 직선을 한 줄이 되도록 이어 붙이면 직선 전체와 붙인 직선으로 만든 직사각형에 반토막으로 만든 정사각형을 더하면 반토막에다 직선을 붙인 것으로 만든 정사각형과 넓이가 같다.

Proposition 7.If a straight line is cut at random, then the sum of the square on the whole and that on one of the segments equals twice the rectangle contained by the whole and the said segment plus the square on the remaining segment.

직선에 임의의 한 점을 잡아서 직선을 자르면 전체로 만든 정사각형에 한 토막을 만든 정사각형을 더하면 직선 전체와 그 한 토막을 만든 직사각형 넓이 두 배에 다른 토막으로 만든 정사각형 넓이를 더한 것과 같다.

Proposition 8.If a straight line is cut at random, then four times the rectangle contained by the whole and one of the segments plus the square on the remaining segment equals the square described on the whole and the aforesaid segment as on one straight line.

직선에 아무 점이라도 좋으니 잡아서 직선을 자르면 직선 전체와 한 토막으로 만든 직사각형의 네 배에다 다른 토막으로 만든 정사각형을 더하면 직선 전체에다 그 한 토막을 더한 직선으로 만든 정사각형과 넓이가 같다. 

 

Proposition 9.If a straight line is cut into equal and unequal segments, then the sum of the squares on the unequal segments of the whole is double the sum of the square on the half and the square on the straight line between the points of section.

직선을 길이가 같게 두 토막을 내고 또 다른 점을 잡아 길이가 다르게 두 토막을 낸다면 길이가 다른 토막들로 만든 정사각형 둘을 더하면 그것은 전체 길이의 절막을 가지고 만든 정사각형에 자른 점들 사이의 직선을 가지고 만든 정사각형을 더한 것을 두 배 한 것과 넓이가 같다. 

 

Proposition 10.If a straight line is bisected, and a straight line is added to it in a straight line, then the square on the whole with the added straight line and the square on the added straight line both together are double the sum of the square on the half and the square described on the straight line made up of the half and the added straight line as on one straight line.

어떤 직선을 이등분하고 거기에 다른 어떤 직선을 한 줄이 되도록 붙이면 원래 직선에 다른 어떤 직선을 붙인 것으로 정사각형을 만들고 거기에 붙인 직선으로 만든 정사각형을 더하면 그것은 반토막으로 만든 정사각형과 반토막에다 다른 어떤 직선을 붙인 것을 가지고 만든 정사각형을 더한 것의 두 배가 된다.

Proposition 11. To cut a given straight line so that the rectangle contained by the whole and one of the segments equals the square on the remaining segment. 주어진 직선을 적당히 잘라서 전체 길이와 한 토막으로 만든 직사각형이 다른 토막으로 만든 정사각형과 넓이가 같도록 만드시오.

Proposition 12.In obtuse-angled triangles the square on the side opposite the obtuse angle is greater than the sum of the squares on the sides containing the obtuse angle by twice the rectangle contained by one of the sides about the obtuse angle, namely that on which the perpendicular falls, and the straight line cut off outside by the perpendicular towards the obtuse angle.

둔각삼각형에서 둔각의 대변 위의 정사각형은 둔각을 끼는 두 변 위의 정사각형의 합보다, 둔각을 끼는 변의 하나와 이 변에 수선이 내려지고, 이 둔각에의 수선에 의해서 외부에 잘려진 선분으로 에워싸인 직사각형의 2배만큼 크다.

Proposition 13. In acute-angled triangles the square on the side opposite the acute angle is less than the sum of the squares on the sides containing the acute angle by twice the rectangle contained by one of the sides about the acute angle, namely that on which the perpendicular falls, and the straight line cut off within by the perpendicular towards the acute angle.

예각삼각형에서 예각의 대변 위의 정사각형은 예각을 끼는 두 변 위의 정사각형의 합보다, 예각을 끼는 변의 하나와 이 변에 수선이 내려지고, 이 예각에의 수선에 의해서 외부에 잘려진 선분으로 에워싸인 직사각형의 2배만큼 작다.

Proposition 14. To construct a square equal to a given rectilinear figure.

주어진 다각형과 넓이가 같은 정사각형을 만들어라.

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Guide to Book II

The subject matter of Book II is usually called "geometric algebra." The first ten propositions of Book II can be easily interpreted in modern algebraic notation. Of course, in doing so the geometric flavor of the propositions is lost. Nonetheless, restating them algebraically can aid in understanding them. The equations are all quadratic equations since the geometry is plane geometry.

II.1. If y = y₁ + y₂ + ... + y_n, then xy = x y₁ + x y₂ + ... + x y_n. This can be stated in a single identity as

x (y₁ + y₂ + ... + y_n) = x y₁ + x y₂ + ... + x y_n.

II.2. If x = y + z, then x² = xy + xz. This can be stated in various ways in an identity of two variables. For instance,

(y + z)² = (y + z) y + (y + z) z,

or

x² = xy + x (x – y).

II.3. If x = y + z, then xy = yz + y². Equivalent identities are

(y + z)y = yz + y²,

and

xy = y(x – y) + y².

II.4. If x = y + z, then x² = y² + z² + 2yz. As an identity,

(y + z)² = y² + z² + 2yz.

II.5 and II.6. (y + z) (y – z) + z² = y².

II.7. if x = y + z, then x² + z² = 2xz + y². As an identity,

x² + z² = 2xz + (x – z)².

II.8. If x = y + z, then 4xy + z² = (x + y)². As an identity,

4xy + (x – y)² = (x + y)².

II.9 and II.10. (y + z)² + (y – z)² = 2 (y² + z²).

The remaining four propositions are of a slightly different nature. Proposition II.11 cuts a line into two parts which solves the equation a (a – x) = x² geometrically. Propositions II.12 and II.13 are recognizable as geometric forms of the law of cosines which is a generalization of I.47. The last proposition II.14 constructs a square equal to a given rectilinear figure thereby completeing the theory of areas begun in Book I.

Logical structure of Book II

The proofs of the propositions in Book II heavily rely on the propositions in Book I involving right angles and parallel lines, but few others. For instance, the important congruence theorems for triangles, namely I.4, I.8, and I.26, are not invoked even once. This is understandable considering Book II is mostly algebra interpreted in the theory of geometry.

The first ten propositions in Book II were written to be logically independent, but they could have easily been written in logical chains which, perhaps, would have shortened the exposition a little. The remaining four propositions each depend on one of the first ten.