원론(Euclid's Elements) 4권

원론(Euclid's Elements) 4권

Definitions

Definition 1.A rectilinear figure is said to be inscribed in a rectilinear figure when the respective angles of the inscribed figure lie on the respective sides of that in which it is inscribed.

한 다각형의 모든 각(꼭짓점)들이 다른 다각형의 변들에 놓여 있으면 그 다각형은 내접하고 있다. 

 

Definition 2.Similarly a figure is said to be circumscribed about a figure when the respective sides of the circumscribed figure pass through the respective angles of that about which it is circumscribed.

한 다각형의 변들이 다른 다각형의 각들을 지나면, 그 다각형은 다른 다각형에 외접하고 있다. 

 

Definition 3.A rectilinear figure is said to be inscribed in a circle when each angle of the inscribed figure lies on the circumference of the circle.

한 다각형의 모든 각들이 원둘레에 놓여 있으면, 그 다각형은 원에 내접하고 있다. 

 

Definition 4.A rectilinear figure is said to be circumscribed about a circle when each side of the circumscribed figure touches the circumference of the circle.

한 다각형의 모든 변들이 원둘레와 접하고 있으면, 그 다각형은 원에 외접하고 있다. 

 

Definition 5.Similarly a circle is said to be inscribed in a figure when the circumference of the circle touches each side of the figure in which it is inscribed.

어떤 원의 둘레가 어떤 다각형의 모든 변들과 접하고 있으면, 그 원은 그 다각형에 내접하고 있다. 

 

Definition 6.A circle is said to be circumscribed about a figure when the circumference of the circle passes through each angle of the figure about which it is circumscribed.

어떤 원의 둘레가 어떤 다각형의 모든 각을 지나면, 그 원은 그 다각형에 외접하고 있다. 

 

Definition 7.A straight line is said to be fitted into a circle when its ends are on the circumference of the circle.

직선의 양 끝점이 원둘레에 놓여 있으면, 그 직선은 원에 걸쳐 있다. 

 

Propositions

Proposition 1. To fit into a given circle a straight line equal to a given straight line which is not greater than the diameter of the circle.

어떤 원과, 그 원의 지름보다 짧은 직선을 주었을 때, 그 원에 주어진 직선과 같은 길이인 직선을 걸쳐 놓아라.

 

Proposition 2. To inscribe in a given circle a triangle equiangular with a given triangle.

주어진 삼각형과 각이 모두 같은 삼각형을 주어진 원에 내접시켜라. 

 

Proposition 3. To circumscribe about a given circle a triangle equiangular with a given triangle.

주어진 삼각형과 각이 모두 같은 삼각형을 주어진 원에 외접시켜라. 

 

Proposition 4. To inscribe a circle in a given triangle.

주어진 삼각형에 원을 내접시켜라. 

 

Proposition 5. To circumscribe a circle about a given triangle.

주어진 삼각형에 원을 외접시켜라. 

Corollary. When the center of the circle falls within the triangle, the triangle is acute-angled; when the center falls on a side, the triangle is right-angled; and when the center of the circle falls outside the triangle, the triangle is obtuse-angled.

이때, 원의 중심이 삼각형 안에 놓이면 예각삼각형, 변에 놓이면 직각삼각형, 바깥에 놓이면 둔각삼각형이다. 

 

Proposition 6. To inscribe a square in a given circle.

주어진 원에 정사각형을 내접시켜라. 

 

 

Proposition 7. To circumscribe a square about a given circle.

주어진 원에 정사각형을 외접시켜라. 

 

Proposition 8. To inscribe a circle in a given square.

주어진 정사각형에 원을 내접시켜라. 

 

Proposition 9. To circumscribe a circle about a given square.

주어진 정사각형에 원을 외접시켜라. 

 

Proposition 10. To construct an isosceles triangle having each of the angles at the base double the remaining one.

두 밑각의 크기가 나머지 한 각의 크기의 두 배가 되는 이등변삼각형을 그려라. 

 

Proposition 11. To inscribe an equilateral and equiangular pentagon in a given circle.

주어진 원에 정오각형을 내접시켜라. 

 

Proposition 12. To circumscribe an equilateral and equiangular pentagon about a given circle.

주어진 원에 정오각형을 외접시켜라. 

 

Proposition 13. To inscribe a circle in a given equilateral and equiangular pentagon.

정오각형에 원을 내접시켜라. 

 

Proposition 14. To circumscribe a circle about a given equilateral and equiangular pentagon.

정오각형에 원을 외접시켜라. 

 

Proposition 15. To inscribe an equilateral and equiangular hexagon in a given circle.

주어진 원에 정육각형을 내접시켜라.

 Corollary. The side of the hexagon equals the radius of the circle.

And, in like manner as in the case of the pentagon, if through the points of division on the circle we draw tangents to the circle, there will be circumscribed about the circle an equilateral and equiangular hexagon in conformity with what was explained in the case of the pentagon. And further by means similar to those explained in the case of the pentagon we can both inscribe a circle in a given hexagon and circumscribe one about it.

정육각형의 변은 원의 반지름과 같다.

오각형의 경우처럼, 원둘레에 놓이는 점들에서 원에 접하는 직선을 그으면, 정육각형을 원에 외접하도록 그릴 수 있다. 오각형의 경우와 마찬가지다.

오각형의 경우와 마찬가지로 정육각형을 주었을 때 내접하는 원과 외접하는 원을 그릴 수 있다. 

 

 

Proposition 16. To inscribe an equilateral and equiangular fifteen-angled figure in a given circle.

주어진 원에 정십오각형을 내접시켜라.
 

Corollary. And, in like manner as in the case of the pentagon, if through the points of division on the circle we draw tangents to the circle, there will be circumscribed about the circle a fifteen-angled figure which is equilateral and equiangular.

And further, by proofs similar to those in the case of the pentagon, we can both inscribe a circle in the given fifteen-angled figure and circumscribe one about it.

오각형의 경우와 마찬가지로, 원둘에에 놓이는 점들에서 원에 접하는 직선을 기으면, 정십오각형을 이 원에 외접하도록 그릴 수 있다. 

오각형의 경우에 증명한 것과 마찬가지로 정십오각형을 주었을 때 내접하는 원과 외접하는 원을 그릴 수 있다.  

 

 

 

 

Guide to Book IV

All but two of the propositions in this book are constructions to inscribe or circumscribe figures.

 

Figure	Inscribe figure in circle	Circumscribe figure about circle	Inscribe circle in figure	Circumscribe circle about figure
Triangle	IV.2	IV.3	IV.4	IV.5
Square	IV.6	IV.7	IV.8	IV.9
Regular pentagon	IV.11	IV.12	IV.13	IV.14
Regular hexagon	IV.15	IV.15,Cor	IV.15,Cor	IV.15,Cor
Regular 15-gon	IV.16	IV.16,Cor	IV.16,Cor	IV.16,Cor

There are only two other propositions. Proposition IV.1 is a basic construction to fit a line in a circle, and proposition IV.10 constructs a particular triangle needed in the construction of a regular pentagon.

Logical structure of Book IV

The proofs of the propositions in Book IV rely heavily on the propositions in Books I and III. Only one proposition from Book II is used and that is the construction in II.11 used in proposition IV.10 to construct a particular triangle needed in the construction of a regular pentagon.

Most of the propositions of Book IV are logically independent of each other. There is a short chain of deductions, however, involving the construction of regular pentagons.

Dependencies within Book IV
1, 5	10
2, 10	11
11	12
1, 2, 11	16