2권_법칙11_황금비의 작도

유클리드 원론 2권 법칙 11은 아래와 같다.

어떤 직선을 주었을 때, 그 직선을 적당히 잘라 전체 길이와 한 토막으로 만든 직사각형이 다른 토막을 가지고 만든 정사각형과 넓이가 같도록 만드시오.

 

직선 AB를 잘라서 보이기로 한다.

AB를 가지고 정사각형 ACDB를 만든다.(1권 법칙 46) AC의 중점 E를 잡고 직선 BE를 긋는다. 직선 CA를 늘이고 EB와 EF의 길이가 같도록 점 F를 잡는다. AF를 가지고 정사각형 FAHG를 만든다. GH를 늘여서 HI를 긋는다.

이제 AB와 HB로 만든 직사각형이 AH로 만든 정사각형과 넓이가 같음을 보이기로 한다.

점 E는 AC를 이등분하고 거기에 FA를 더했으므로 CF와 FA로 만든 직사각형에 AE로 만든 정사각형을 더하면 EF로 만든 정사각형과 넓이가 같다.(2권 법칙 6)

EF는 EB와 길이가 같으므로 CF와 FA로 만든 직사각형에 AE로 만든 정사각형을 더하면 EB로 만든 정사각형과 넓이가 같다.

한편, AB와  AE로 만든 정사각형을 더하면 EB로 만든 정사각형과 넓이가 같다.(1권 법칙 47_피타고라스정리)

그러므로 CF와 FA로 만든 직사각형에 AE로 만든 정사각형을 더하면 AB, AE로 만든 정사각형을 더한 것과 넓이가 같다.

양쪽에서 AE로 만든 정사각형을 빼라.

CF와 FA로 만든 직사각형은 AB로 만든 정사각형과 넓이가 같다.

CF와 FA로 만든 직사각형은 FCIG와 같다. AB로 만든 정사각형은 ACDB이다. 둘은 넓이가 같다.

양쪽에서 ACIH를 빼면 FAHG와 HIDB는 넓이가 같다.

HIDB는 AB와 HB로 만든 직사각형과 넓이가 같다. FAHG는 AH로 만든 정사각형이다.

직선 AB를 점 H에서 자르면 법칙 11을 만족함을 보였다.

유클리드 원론에는 곱셈을 넓이로 나타내기만 했을 뿐 곱셈을 따로 정의하지 않았다. 때문에 왜 이렇게 복잡하게 증명했을까 여겨지기도 한다. 기하학에 대수를 더해 새로운 해석 기하의 세계를 열어 젖힌 데카르트가 고맙기만 하다. 거꾸로 생각하면 온갖 기호 체계가 갖춰진 오늘로 그리스 수학자가 되돌아 온다면 어떤 업적을 남길까 궁금하기도 하다.

증명을 오늘날 표현으로 적어보자.

$$\begin{split}\overline{CF}\cdot \overline{FA}+\overline{AE}^2 &=(\overline{CE}+\overline{EF})\cdot \overline{FA}+\overline{AE}^2 \\&=\overline{CE}\cdot \overline{FA}+\overline{EF}\cdot \overline{FA} +\overline{AE}^2\\&=\overline{AE}\cdot \overline{FA}+(\overline{EA}+\overline{FA})\cdot \overline{FA} +\overline{AE}^2\\&=\overline{AE}\cdot \overline{FA}+\overline{EA}\cdot \overline{FG} +\overline{FA}\cdot \overline{FA} +\overline{AE}^2\\&=2\overline{AE}\cdot \overline{FG}+\overline{FA}^2 +\overline{AE}^2\\&=(\overline{AE}+ \overline{FA})^2\\&=\overline{EF}^2\\&=\overline{EB}^2\end{split}$$

$$\therefore \overline{CF}\cdot \overline{FA}+\overline{AE}^2 = \overline{EB}^2 $$

피타고라스 정리에 의해

$$\begin{split}\overline{CF}\cdot \overline{FA}+\overline{AE}^2 = \overline{AB}^2 +\overline{AE}^2 \\ \overline{CF}\cdot \overline{FA} = \overline{AB}^2 \\(\overline{CA}+\overline{FA})\cdot \overline{FA} = (\overline{AH}+\overline{HB})\cdot\overline{CA}\\ \overline{CA}\cdot \overline{FA} +\overline{FA} \cdot \overline{FA} = \overline{AH} \cdot\overline{CA}+\overline{HB} \cdot\overline{CA}\\ \overline{FA} \cdot \overline{FA} = \overline{HB} \cdot\overline{CA}\\\overline{AH}^2 = \overline{HB} \cdot\overline{CA}\end{split}$$

$\blacksquare$

이 법칙을 대수 표현으로 적어보자.

$\overline{AB}=x, \;\; \overline{AH}=y$라고 하면 $\overline{HB}=x-y$이다.

$$\begin{split} x(x-y)=y^2\\ x^2 -xy-y^2 =0\\ \displaystyle{\bigg(\frac{x}{y}\bigg)^2 -\frac{x}{y}-1=0}\\ \frac{x}{y}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\end{split}$$

다시 적으면

$$\frac{x}{y}=\frac{y}{x-y}$$

전체와 부분의 비율이 부분끼리 비율과 같다. 이 비율이 바로 황금분할(golden section)이다.