원론(Euclid's Elements) 3권

Definitions

Definition 1.

Equal circles are those whose diameters are equal, or whose radii are equal.

지름이나 반지름이 같은 원은 같은 원이다.

Definition 2.

A straight line is said to touch a circle which, meeting the circle and being produced, does not cut the circle.

직선이 원과 만나지만 아무리 길게 늘여도 원을 자르지 않을 때 접한다고 한다.

Definition 3.

Circles are said to touch one another which meet one another but do not cut one another.

원이 서로 만나지만 서로 자르지 않을 때 접한다고 한다.

Definition 4.

Straight lines in a circle are said to be equally distant  from the center when the perpendiculars drawn to them from the center are equal.

원의 중심에서 직선에 내린 수선의 길이가 같을 때 그 직선들은 중심에서 같은 거리에 있다고 말한다.

Definition 5.

And that straight line is said to be at a greater distance on which the greater perpendicular falls.

중심에서 직선에 내린 수선의 길이가 더 길면 더 멀리 있다고 말한다.

Definition 6.

A segment of a circle is the figure contained by a straight line and a circumference of a circle.

활꼴은 원둘레와 직선으로 이루어진 도형이다.

Definition 7.

An angle of a segment is that contained by a straight line and a circumference of a circle.

활꼴의 각은 원둘레와 직선이 이루는 각이다.

Definition 8.

An angle in a segment is the angle which, when a point is taken on the circumference of the segment and straight lines are joined from it to the ends of the straight line which is the base of the segment, is contained by the straight lines so joined.

활꼴의 내부 원주각이란 활꼴을 이루는 원둘레의 한 점에서 활꼴의 밑변을 이루는 직선의 양 끝점으로 두 직선을 그었을 때, 그 두 직선이 만드는 각이다.

Definition 9.

And, when the straight lines containing the angle cut off a circumference, the angle is said to stand upon that circumference.

각을 만드는 두 직선이 원을 자를 때, 그 각은 원둘레에 서 있다고 말한다.

Definition 10.

A sector of a circle is the figure which, when an angle is constructed at the center of the circle, is contained by the straight lines containing the angle and the circumference cut off by them.

부채꼴이란 원의 중심에서 어떤 각을 만들었을 때, 그 각을 만드는 두 직선과 그 직선들에 의해 잘린 원둘레로 둘러싸인 도형이다.

Definition 11.

Similar segments of circles are those which admit equal angles, or in which the angles equal one another.

각들의 크기가 같은 활꼴은 닮은 활꼴이다.

Propositions

Proposition 1.

To find the center of a given circle.

주어진 원의 중심을 찾아라.

Corollary. If in a circle a straight line cuts a straight line into two equal parts and at right angles, then the center of the circle lies on the cutting straight line.

원 안에서 한 직선이 한 직선을 수직이등분하면 중심은 그 수직이등분선 위에 있다. 

 

Proposition 2.

If two points are taken at random on the circumference of a circle, then the straight line joining the points falls within the circle.

원 둘에 위에 임의의 두 점이 주어졌을 때 두 점을 잇는 선분은 원 안에 있다.
 

 

Proposition 3.

If a straight line passing through the center of a circle bisects a straight line not passing through the center, then it also cuts it at right angles; and if it cuts it at right angles, then it also bisects it.

중심을 지나는 직선이 중심을 지나지 않는 현을 이등분한다면 그 직선은 현을 수직으로 자른다. 수직으로 자른다면 이 선은 이등분선이다.

 

 

Proposition 4.

If in a circle two straight lines which do not pass through the center cut one another, then they do not bisect one another.

원에서 중심을 지나지 않는 두 현이 서로 서로 자른다면 현들은 서로를 이등분하지 않는다. 
 

 

Proposition 5.

If two circles cut one another, then they do not have the same center.

두 원이 서로를 자른다면 같은 중심을 가지지 않는다.
 

 

Proposition 6.

If two circles touch one another, then they do not have the same center.

두 원이 서로 접한다면 같은 중심을 가지지 않는다.
 

 

Proposition 7.

If on the diameter of a circle a point is taken which is not the center of the circle, and from the point straight lines fall upon the circle, then that is greatest on which passes through the center, the remainder of the same diameter is least, and of the rest the nearer to the straight line through the center is always greater than the more remote; and only two equal straight lines fall from the point on the circle, one on each side of the least straight line.

원의 지름 위에 중심이 아닌 점을 잡고 그 점에서 원둘레로 직선을  그으면 중심을 지나는 것이 가장 길고 지름에서 그 직선을 빼고 남는 것이 가장 짧다. 다른 직선들도 원의 중심에 가까운 것이 먼 것보다 더 길다. 길이가 같은 직선은 둘씩 존재하며, 가장 짧은 직선의 양쪽에 하나씩 존재한다. 

 

Proposition 8.

If a point is taken outside a circle and from the point straight lines are drawn through to the circle, one of which is through the center and the others are drawn at random, then, of the straight lines which fall on the concave circumference, that through the center is greatest, while of the rest the nearer to that through the center is always greater than the more remote, but, of the straight lines falling on the convex circumference, that between the point and the diameter is least, while of the rest the nearer to the least is always less than the more remote; and only two equal straight lines fall on the circle from the point, one on each side of the least.

원의 바깥에 한 점에서 원둘레로 직선을 그어 하나는 중심을 지나도록 긋고 다른 직선들은 적당히 긋는다면 원의 오목한 부분에 닿는 직선 가운데 중심을 지나는 것이 가장 길다. 다른 직선들은 중심을 지나는 직선에 가까울수록 멀리 있는 것보다 더 길다. 반대로 원둘레의 볼록한 부분에 닿는 직선들 가운데에는 그 점과 지름 사이에 놓이는 직선이 가장 짧다. 다른 직선들은 가장 짧은 직선에 가까울수록 멀리 있는 것보다 더 짧다. 길이가 같은 직선은 그 점에서 둘씩 그을 수 있으며, 가장 짧은 직선의 양쪽에 하나씩 존재한다.

Proposition 9.

If a point is taken within a circle, and more than two equal straight lines fall from the point on the circle, then the point taken is the center of the circle.

원의 한 점에서 원 둘레로 직선을 그을 때 길이가 같은 직선을 둘보다 더 많이 그을 수 있다면 그 점은 원의 중심이다.

Proposition 10.

A circle does not cut a circle at more than two points.

원은 다른 원을 두 점보다 많은 점에서 자를 수 없다.

Proposition 11.

If two circles touch one another internally, and their centers are taken, then the straight line joining their centers, being produced, falls on the point of contact of the circles.

두 원이 내접할 때, 두 원의 중심을 잇는 직선을 늘리면 접점에 닿는다.

Proposition 12.

If two circles touch one another externally, then the straight line joining their centers passes through the point of contact.

두 원이 외접할 때, 두 원의 중심을 잇는 직선은 접점을 지난다.

Proposition 13.

A circle does not touch another circle at more than one point whether it touches it internally or externally..

원은 내접하거나 외접하거나 한 점보다 많은 점에서 접할 수 없다.

Proposition 14.

Equal straight lines in a circle are equally distant from the center, and those which are equally distant from the center equal one another.

원에 길이가 같은 현은 중심에서 같은 거리에 있고 중심에서 같은 거리에 있는 현은 길이가 같다.

Proposition 15.

Of straight lines in a circle the diameter is greatest, and of the rest the nearer to the center is always greater than the more remote.

지름은 가장 긴 현이고 나머지 현은 중심에 가까울수록 먼 것보다 더 길다.

Proposition 16.

The straight line drawn at right angles to the diameter of a circle from its end will fall outside the circle, and into the space between the straight line and the circumference another straight line cannot be interposed, further the angle of the semicircle is greater, and the remaining angle less, than any acute rectilinear angle.

지름의 끝점에서 지름에 수직이 되도록 직선을 그으면 그 직선은 원의 바깥에 있다. 그 직선과 원둘레 사이에는 어떤 직선도 놓일 수 없다. 반원이 만드는 각은 어떤 직선 예각보다도 크고 그것을 뺐을 때 남는 각은 어떤 직선 예각보다 작다. 

Corollary. From this it is manifest that the straight line drawn at right angles to the diameter of a circle from its end touches the circle.

지름의 끝점에서 지름에 수직인 직선은 접선이다.

 

Proposition 17.

From a given point to draw a straight line touching a given circle.

어떤 점과 원을 주었을 때, 원에 접하도록 그 점에서 직선을 그어라.

 

Proposition 18.

If a straight line touches a circle, and a straight line is joined from the center to the point of contact, the straight line so joined will be perpendicular to the tangent.

어떤 직선이 원에 접한다면 접점과 원의 중심을 지나는 직선은 접선과 수직이다.

Proposition 19.

If a straight line touches a circle, and from the point of contact a straight line is drawn at right angles to the tangent, the center of the circle will be on the straight line so drawn.

어떤 직선이 원에 접한다면 접점에서 그 직선에 수직인 직선을 그으면 원의 중심을 지난다.

Proposition 20.

In a circle the angle at the center is double the angle at the circumference when the angles have the same circumference as base.

원의 중심에서 만든 각(중심각)은 둘레에서 만든 각(원주각)이 같은 호를 밑변으로 가지면, 중심각 크기는 원주각 크기의 두 배가 된다.

Proposition 21.

In a circle the angles in the same segment equal one another.

같은 활꼴의 원주각은 모두 같다.

Proposition 22.

The sum of the opposite angles of quadrilaterals in circles equals two right angles.

원에 내접하는 사각형은 마주보는 두 각의 합이 직각 둘을 더한 것과 같다.

Proposition 23.

On the same straight line there cannot be constructed two similar and unequal segments of circles on the same side.

어떤 현에서 닮은꼴이면서 서로 다른 활꼴을 같은 쪽에 그릴 수 없다.

Proposition 24.

Similar segments of circles on equal straight lines equal one another.

길이가 같은 현애 대해 닮은꼴 활꼴을 만들면 그 활꼴들은 서로 같다.

 

Proposition 25.

Given a segment of a circle, to describe the complete circle of which it is a segment.

어떤 활꼴이 있을 때, 그 활꼴을 가지는 완전한 원을 그려라.

 

Proposition 26.

In equal circles equal angles stand on equal circumferences whether they stand at the centers or at the circumferences.

크기가 같은 원에서 크기가 같은 중심각 또는 원주각들은 같은 호에 대응한다.

Proposition 27.

In equal circles angles standing on equal circumferences equal one another whether they stand at the centers or at the circumferences.

크기가 같은 원에서 길이가 같은 호들에 대응하는 중심각과 원주각은 서로 같다.

Proposition 28.

In equal circles equal straight lines cut off equal circumferences, the greater circumference equals the greater and the less equals the less.

크기가 같은 원들에서 길이가 같은 직선들은 같은 호를 만든다. 긴 호는 긴 호와 짧은 호는 짧은 호와 같다.

Proposition 29.

In equal circles straight lines that cut off equal circumferences are equal.

크기가 같은 원들에 있는 길이가 같은 호들은 같은 길이인 직선에 대응한다.

 

Proposition 30.

To bisect a given circumference.

주어진 호를 이등분하여라.

 

Proposition 31.

In a circle the angle in the semicircle is right, that in a greater segment less than a right angle, and that in a less segment greater than a right angle; further the angle of the greater segment is greater than a right angle, and the angle of the less segment is less than a right angle.

반원의 내부 원주각은 직각이다. 반원보다 더 큰 활꼴의 내부 원주각은 직각보다 작고 반원보다 작은 활꼴의 내부 원주각은 직각보다 크다. 반원보다 더 큰 활꼴의 각은 직각보다 크고 반원보다 더 작은 활꼴의 각은 직각보다 작다.

Proposition 32.

If a straight line touches a circle, and from the point of contact there is drawn across, in the circle, a straight line cutting the circle, then the angles which it makes with the tangent equal the angles in the alternate segments of the circle.

 

직선이 원에 접하고 접점에서 직선을 그어서 원을 자르게 한다면 그 직선과 접선이 만드는 각은 반대쪽 활꼴의 내부 원주각과 크기가 같다.

 

Proposition 33.

On a given straight line to describe a segment of a circle admitting an angle equal to a given rectilinear angle.

어떤 직선과 각을 주었을 때, 그 직선에 활꼴을 그려서 그 활꼴의 내부 원주각이 주어진 각과 크기가 같게 만들어라.

Proposition 34.

From a given circle to cut off a segment admitting an angle equal to a given rectilinear angle.

어떤 원과 각을 주었을 떄, 내부 원주각이 주어진 각과 같은 크기가 되는 활꼴을 잘라내라.

Proposition 35.

If in a circle two straight lines cut one another, then the rectangle contained by the segments of the one equals the rectangle contained by the segments of the other.

원에서 두 직선이 서로 자르고 지나가면 한 직선의 토막들을 가지고 만든 직사각형은 다른 직선의 토막들로 만든 직사각형과 넓이가 같다.

Proposition 36.

If a point is taken outside a circle and two straight lines fall from it on the circle, and if one of them cuts the circle and the other touches it, then the rectangle contained by the whole of the straight line which cuts the circle and the straight line intercepted on it outside between the point and the convex circumference equals the square on the tangent.

원 밖에 있는 점에서 원으로 두 직선을 그어 한 직선은 원을 자르게 하고 다른 직선은 접하게 한다면 원을 자르른 직선의 전체 길이과그 직선에서 원의 볼록한 둘레에 닿기까지의 길이를 가지고 만든 직사각형은 접을 가지고 만든 정사각형과 넓이가 같다.

Proposition 37.

If a point is taken outside a circle and from the point there fall on the circle two straight lines, if one of them cuts the circle, and the other falls on it, and if further the rectangle contained by the whole of the straight line which cuts the circle and the straight line intercepted on it outside between the point and the convex circumference equals the square on the straight line which falls on the circle, then the straight line which falls on it touches the circle.

원의 바깥에 있는 점에서 원으로 두 직선을 그어서 한 직선은 원을 자르게 하고 다른 한 직선은 원에 닿도록 했을 때, 원을 자르는 직선의 전체 길이와 그 직선에서 원의 볼록한 둘레에 닿기까지 길이로 만든 직사각형이 원에 닿는 직선으로 만든 정사각형과 넓이가 같다면 원에 닿는 직선은 원에 접한다.