수열의 정의

문제 그림과 같이 $1\times 10$의 직사각형 판을 $1\times 1$ 또는 $1\times 2$ 판으로 덮는 방법은 모두 몇 가지 인가?

풀이

일반화를 위해 $1\times n$인 판을 생각하자. 이런 문제는 작은 자연수부터 차근차근 생각하면 된다. $n=1$일 때와 $n=2$일 때는 아래와 같다.

$n=4$일 때는 아래와 같다.

모든 방법의 수를 $a_n$으로 두고 숫자로 표현해 보면 각각 $(1,1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(2,1,1),(2,2)$이므로 $a_4 =5$인데 이를 맨 앞에 $1$이 오는 경우와 $2$가 오는 경우로 나누어 생각하면 $a_4 =a_3 +a_2$임을 알 수 있고 쉽게 $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$을 찾을 수 있다. 이와 같은 방법을 귀납적이라고 한다. 참고로 이 수열은 피보나치 수열이다. 일반항은 여기로 http://suhak.tistory.com/81

자연수와 관련된 문제는 자연수를 정의역으로 하는 함수를 살펴보는 것으로 생각할 수 있다. 따라서 정의역이 자연수인 함수를 수열로 정의한다.

수열의 정의

$f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{R}$

함숫값 $f(1),f(2),f(3),\cdots$를 그 수열의 항이라고 한다. 차례로 첫째항, 둘째항, 셋째항, $\cdots$ 또는 제1항, 제2항, 제3항,$\cdots$로 부르고 $$a_1 , a_2 , a_3 ,\cdots$$ 로 쓰고 제$n$항 $a_n$을 일반항이라고 한다. 수열을 간단하게 나타낼 때는 $\{a_n \}$로 적는다.

등차수열

첫째항부터 일정한 수($d$)를 더해 만든 수열을 등차수열이라고 하고 일정한 수를 공차라고 한다. 함수로 생각하면 $\displaystyle{\frac{\Delta y}{\Delta x}=d}$인 일차함수다.

$a_{n+1}=a_n +d$ (단, $n=1,2,3,\cdots$)

첫째항이 $a$이고 공차가 $d$인 등차수열 $\{a_n \}$에서

$a_1 =a$

$a_2 =a_1 +d=a+d$

$a_3 =a_2 +d=a+2d$

$a_4 =a_3 +d=a+2d$

$\quad\quad \vdots$

$a_n =a_{n-1} +d=a+(n-1)d$

첫째항이 $a$이고 공차가 $d$인 등차수열의 일반항 $a_n$은

$a_n =a+(n-1)d$

예제 제3항이 11, 제9항이 29인 등차수열의 일반항을 구하여라.

정리한 공식을 써서 $a_3 =a+2d=11,\;\;a_9 =a+8d=29$를 풀어 $a=5, d=3$을 찾아 $a_n =5+(n-1)\cdot 3=3n+2$임을 알 수 있다.

하지만 이 문제는 두 점 $(3,11), (9,29)$를 지나는 직선의 방정식을 찾는 것이 훨씬 편하다.

등차수열의 합

첫째항이 $a$, 공차가 $d$인 등차수열의 제$n$항을 $l$이라고 할 때, 첫째항부터 제$n$항까지 합을 $S_n$이라고 하면 $S_n$도 새로운 수열이 된다. 이 수열의 일반항을 구해보자.

$$S_n =a+(a+d)+(a+2d)+\cdots+(l-d)+l \;\;\cdots\cdots(1)$$

이것을 거꾸로 다시 적으면

$$S_n =l+(l-d)+(a-2d)+\cdots+(a+d)+a \;\;\cdots\cdots(2)$$

$(1)+(2)$

$$2 S_n =\underbrace{(a+l)+(a+l)+(a+l)+\cdots+(a+d)+(a+d)}_{n개}$$

$$2 S_n =n(a+l)$$

첫째항 $a$와 마지막 항 $l$을 알거나 공차 $d$를 알면 아래와 같이 등차수열의 합을 구할 수 있다.

$$S_n =\frac{1}{2}n(a+l)$$

$$S_n =\frac{1}{2}n\{2a+(n-1)d\}$$