Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
7. Integrals and Transcendental Functions::::수학과 사는 이야기

7. Integrals and Transcendental Functions

수학이야기/미적분 2016. 5. 10. 16:35
반응형

보통 y=lnxy=ex의 역함수로 정의한다. 이 때, 오일러 상수 e는 지수함수 y=ax(a>0)에서 x=0일 때, 접선의 기울기가 1이 되도록 하는 밑으로 정의한다. x가 유리수라면 ax는 직관적으로 잘 정의할 수 있지만 무리수라면 어렵다. 이 장에서는 다른 관점으로 정의하여 y=exy=lnx의 역함수로 다루려고 한다. 처음에는 낯설지만 매우 우아하고 강력한 성질을 얻을 수 있다.

Definition The national logarithm is the function given by

lnx=x11tdt,x>0

Definition The number e is that number in the domain of the natural logarithm satisfying

lne=e11tdt=1

 

이제 정의에 따라 로그의 성질을 보여보자.

lnbx=bx11tdt=b11tdt+bxb1tdt

에서 u=bt로 치환하면

=b11tdt+x1bu1bdu=lnb+lnx

이다. 다른 성질도 증명해 보자. 어떤가 조금 우아해졌는가?

a.lnbx=lnblnx,b.ln1x=lnx,c.lnxr=rlnx

기본정리에 따라 쉽게 미분할 수 있다. x>0이므로

lnxdx=ddxx11tdt=1x>0,d2lnxdx2=11x2<0

이다. 따라서 lnx는 증가(increasing) 함수이고 아래로 오목(concave down)하다.

정의역(domain)은 (0,) , 치역(range)는 (,)이며 1-1(one to one) 함수이므로 역함수가 존재한다.

이제 ln1x=expx라고 하자.

ln(e)=1이므로 e=exp(1)이다. rQ라면 자연스럽게

e2=ee,e2=1e2,e1/2=e,e2/3=3e2

e>0이므로 er>0

따라서 er은 로그값을 가진다.

lner=rlne=r1=r(1)

그러므로 er=exprrQ이다.

(1)은 x가 무리수여도 성립하는 식이다.

lnex=xlne=x1=x

그러므로 ex=expxxR이다. 아래와 같이 자연 지수함수를 정의하자.

Definition For every real number x, we define the natural exponential function to be ex=expx

 

반응형

수학이야기님의
글이 좋았다면 응원을 보내주세요!