7. Integrals and Transcendental Functions
수학이야기/미적분 2016. 5. 10. 16:35보통 y=lnx를 y=ex의 역함수로 정의한다. 이 때, 오일러 상수 e는 지수함수 y=ax(a>0)에서 x=0일 때, 접선의 기울기가 1이 되도록 하는 밑으로 정의한다. x가 유리수라면 ax는 직관적으로 잘 정의할 수 있지만 무리수라면 어렵다. 이 장에서는 다른 관점으로 정의하여 y=ex를 y=lnx의 역함수로 다루려고 한다. 처음에는 낯설지만 매우 우아하고 강력한 성질을 얻을 수 있다.
Definition The national logarithm is the function given by
lnx=∫x11tdt,x>0
Definition The number e is that number in the domain of the natural logarithm satisfying
lne=∫e11tdt=1
이제 정의에 따라 로그의 성질을 보여보자.
lnbx=∫bx11tdt=∫b11tdt+∫bxb1tdt
에서 u=bt로 치환하면
=∫b11tdt+∫x1bu⋅1bdu=lnb+lnx
이다. 다른 성질도 증명해 보자. 어떤가 조금 우아해졌는가?
a.lnbx=lnb−lnx,b.ln1x=−lnx,c.lnxr=rlnx
기본정리에 따라 쉽게 미분할 수 있다. x>0이므로
lnxdx=ddx∫x11tdt=1x>0,d2lnxdx2=11x2<0
이다. 따라서 lnx는 증가(increasing) 함수이고 아래로 오목(concave down)하다.
정의역(domain)은 (0,∞) , 치역(range)는 (−∞,∞)이며 1-1(one to one) 함수이므로 역함수가 존재한다.
이제 ln−1x=expx라고 하자.
ln(e)=1이므로 e=exp(1)이다. r∈Q라면 자연스럽게
e2=e⋅e,e−2=1e2,e1/2=√e,e2/3=3√e2
e>0이므로 er>0
따라서 er은 로그값을 가진다.
lner=rlne=r⋅1=r(1)
그러므로 er=exprr∈Q이다.
(1)은 x가 무리수여도 성립하는 식이다.
lnex=xlne=x⋅1=x
그러므로 ex=expxx∈R이다. 아래와 같이 자연 지수함수를 정의하자.
Definition For every real number x, we define the natural exponential function to be ex=expx
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