7. Integrals and Transcendental Functions

보통 $y=\ln x$를 $y=e^x$의 역함수로 정의한다. 이 때, 오일러 상수 $e$는 지수함수 $y=a^x\;\;(a>0)$에서 $x=0$일 때, 접선의 기울기가 $1$이 되도록 하는 밑으로 정의한다. $x$가 유리수라면 $a^x$는 직관적으로 잘 정의할 수 있지만 무리수라면 어렵다. 이 장에서는 다른 관점으로 정의하여 $y=e^x$를 $y=\ln x$의 역함수로 다루려고 한다. 처음에는 낯설지만 매우 우아하고 강력한 성질을 얻을 수 있다.

Definition The national logarithm is the function given by

$$\ln x =\int_{1}^{x} \frac{1}{t}dt, \quad x>0$$

Definition The number $e$ is that number in the domain of the natural logarithm satisfying

$$\ln e =\int_{1}^{e} \frac{1}{t}dt=1$$

 

이제 정의에 따라 로그의 성질을 보여보자.

$$\ln bx =\int_{1}^{bx} \frac{1}{t}dt=\int_{1}^{b} \frac{1}{t}dt+\int_{b}^{bx} \frac{1}{t}dt$$

에서 $u=bt$로 치환하면

$$=\int_{1}^{b} \frac{1}{t}dt+\int_{1}^{x} \frac{b}{u}\cdot\frac{1}{b}du=\ln b +\ln x$$

이다. 다른 성질도 증명해 보자. 어떤가 조금 우아해졌는가?

$$a. \ln\frac{b}{x}=\ln b -\ln x , \quad b. \ln\frac{1}{x}=-\ln x , \quad c. \ln{x^r}=r\ln x $$

기본정리에 따라 쉽게 미분할 수 있다. $x>0$이므로

$$\frac{\ln x }{dx}=\frac{d}{dx}\int_{1}^{x} \frac{1}{t}dt=\frac{1}{x}>0,\;\;\frac{d^2 \ln x}{dx^2}= 1\frac{1}{x^2}<0$$

이다. 따라서 $\ln x$는 증가(increasing) 함수이고 아래로 오목(concave down)하다.

정의역(domain)은 $(0,\infty)$ , 치역(range)는 $(-\infty, \infty)$이며 1-1(one to one) 함수이므로 역함수가 존재한다.

이제 $\ln ^{-1}x=exp \;x$라고 하자.

$\ln(e)=1$이므로 $e=exp(1)$이다. $r\in \mathbb{Q}$라면 자연스럽게

$$e^2=e\cdot e,\;\;\;\;e^{-2}=\frac{1}{e^2},\;\;\;\;e^{1/2}=\sqrt{e},\;\;\;\;e^{2/3}=\sqrt[3]{e^{2}}$$

$e>0$이므로 $e^r >0$

따라서 $e^r$은 로그값을 가진다.

$$\ln e^r =r\ln e= r\cdot 1=r\quad (1)$$

그러므로 $e^r =exp \;r\;\;r\in \mathbb{Q}$이다.

(1)은 $x$가 무리수여도 성립하는 식이다.

$$\ln e^x=x\ln e= x\cdot 1=x$$

그러므로 $e^x =exp \;x\;\;x\in \mathbb{R}$이다. 아래와 같이 자연 지수함수를 정의하자.

Definition For every real number $x$, we define the natural exponential function to be $e^x= exp\;x$