수학에서 사상(mapping or map)은 함수(function)를 일반화한 것이다. 그러므로 사상은 보통 함수로 이해하면 된다. 수학자 랑(Serge Lang)은 공역이 수집합($\mathbb{R,C}$)의 부분집합인 경우만 함수로 다루기도 한다. 사상은 함수를 포함하고 있는 것으로 보면 된다. 위상(topology)에서는 연속함수로 선형대수(linear algebra)에서는 1차변환(linear transformation)과 같이 분야에 따라 다른 이름으로 불리운다.
이제 $E^n$에서 $E^m$으로의 사상을 생각해 보자. $n=2$이고 $m=1$이라면 2변수 함수로 생각하면 되고 $n=1$이고 $m=3$이라면 벡터 함수(vector valued function or vector function)으로 다루면 될 것이다. 아래와 같이 표현할 수 있다.
1. 함수 $F:E^n \rightarrow E^m$에 대하여 $E^n$의 모든 점 $\mathbf{p}\in E^n$에서
$$F(\mathbf{p})=(f_1 (\mathbf{p}),f_2 (\mathbf{p}),\cdots,f_m(\mathbf{p}))$$를 만족하는 실가함수를 $f_1 ,f_2 ,\cdots,f_m$이라 하자. 이 함수 $f_1 ,f_2 ,\cdots,f_m$를 유클리드 좌표함수(Euclidean coordinate function)라 하고, $$F=(f_1 ,f_2 ,\cdots,f_m)$$으로 적는다.
2. $\alpha: I\rightarrow E^n$에서의 곡선, $F:E^n \rightarrow E^m$을 사상이라 하면 합성함수 $\beta=F(\alpha):I\rightarrow E^m$은 $E^m$에서의 곡선이다. 이 곡선 $\beta=F(\alpha)$를 $F$에 의한 $\alpha$의 상(image of $\alpha$ under $F$)라고 한다.
3. 사상 $F:E^n \rightarrow E^m$에 대하여 $\mathbf{p}\in E^n$에서 $E^n$의 접벡터(tangent vector)를 $\mathbf{v}$, $E^m$의 곡선 $t\rightarrow F(\mathbf{p}+t\mathbf{v})$의 초기속도를 $F_*(\mathbf{v})$라 하자. 이때 $E^n$의 접벡터를 $E^m$의 접벡터로 보내는 함수 $F_*$를 $F$의 미분사상(derivative map)이라고 한다.
에제 사상 $F:R^2 \rightarrow R^2\quad F(x,y)=(x+y,-x+2y)$라고 하자.
$u=x+y, \;\;v=-x+2y$는 좌표함수이다.
이때 $\alpha_1:I\rightarrow R^2\quad \alpha_1(t)=(t,2t)$라고 하면 $F(\alpha_1(t))=(3t,t)$이므로 직선 $y=2x$의 함수 $F$에 의한 상은 직선 $u=3v$이다.
다른 곡선 $\alpha_2:I\rightarrow R^2\quad \alpha_2(t)=(r\cos t,r\sin t)$라고 하면 $F(\alpha_2(t))=(r\cos t +r\sin t,-r\cos t+2r\sin t)$에서 $u=r\cos t +r\sin t,\;\;v=-r\cos t+2r\sin t$이고 이를 정리하면 $5u^2 -2uv+2v^2=9r^2$이다.
그러므로 원 $x^2 +y^2 =r^2$의 함수 $F$에 의한 상은 타원 $5u^2 -2uv+2v^2=9r^2$이다. 같은 평면에 그리면 아래와 같다. 이 둘 사이의 넓이는 어떤 관계가 있을까?