Applications of Taylor series

마치 무한차 다항식(infinite polynomials)처럼 보이는 변수 $x$를 포함한 무한급수가 거듭제곱 급수(power series)다. 오른쪽 급수가 $f(x)$로 수렴하는 것이므로 부분합 $P_n(x)$를 함수식 $f(x)$에 매우 비슷한 다항식으로 생각할 수 있다. 거듭제곱 급수는 서로 연산하여 새로운 급수를 만들 수 있고 항별로 미분하거나 적분할 수 있어서 매우 쓸모가 많다. 주어진 함수로 수렴하는 거듭제곱 급수를 찾는 방법 가운데 가장 많이 쓰는 것이 바로 테일러 급수다.

$$\frac{d}{dx} \tan^{-1}x=\frac{1}{1+x^2}=1-x^2 +x^4 -x^6 +\cdots$$ 양변을 적분하면

$$\tan^{-1}x +C=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-\cdots \quad\quad |x|\leq 1$$

$x=0$에서 $C=0$이다. 따라서,

$$\tan^{-1}x =x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-\cdots \quad\quad |x|\leq 1$$

$x=1$을 대입하면

$$\frac{\pi}{4}= 1- \frac{1}{3} + \frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\cdots+\frac{(-1)^n}{2n+1}+\cdots$$ 이다. 이 식에서 $\pi$의 근삿값을 계산할 수 있다. 그러나 이 급수는 매우 느리게 수렴한다. 조금 더 빠르게 수렴하는 급수를 찾기 위해 아래와 같이 성질을 이용한다.

$$\alpha=\tan^{-1} \frac{1}{2}, \quad\quad \beta=\tan^{-1} \frac{1}{3}$$

$$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha \tan\beta}=1=\tan\frac{\pi}{4}$$

$$\frac{\pi}{4}=\tan^{-1} \frac{1}{2}+\tan^{-1} \frac{1}{3}$$

 

함수 $e^x$로 테일러 급수를 만들면 아래와 같다.

$$e^x =1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^6}{6!}+\cdots$$

이 급수에 $x=i\theta$를 넣어 보자.

$$e^{i \theta}=1+i\theta+\frac{i^2\theta^2}{2!}+\frac{i^3\theta^3}{3!}+\frac{i^4\theta^4}{4!}+\frac{i^5\theta^5}{5!}+\frac{i^6\theta^6}{6!}+\cdots$$

정리하면

$$e^{i \theta}=\bigg(1- \frac{\theta^2}{2!}+\frac{\theta^4}{4!}-\frac{\theta^6}{6!}+\cdots \bigg)+i\bigg(\theta- \frac{\theta^3}{3!}+\frac{\theta^5}{5!}-\frac{\theta^7}{7!}+\cdots \bigg)$$

허수 부분과 실수 부분이 각각 $\cos\theta$와 $\sin \theta$의 테일러 급수이다. 이것으로 아래와 같이 복소수 지수를 정의할 수 있다.

Definition

$$\forall\theta\in\mathbb{R}, \quad e^{i \theta}=\cos\theta+i\sin\theta$$

오일러 항등식(Euler's identity)으로 부르는 이 식에 $\pi$를 넣어서 세상에서 가장 아름다운 수식을 만들 수 있다.

$$e^{i\pi}+1=0$$

참 아름답지 아니한가? 수학에서 쓰는 가장 중요한 상수 다섯 개가 어우러져 있다.

이어진 고리 : 삼각함수와 지수함수가 하나다.