Ptolemy's theorem

원에 내접하는 사각형을 다루는 문제를 풀 때 많이 쓰는 프톨레미의 정리를 증명한다.
정리 원에 내접하는 사각형에서 마주보는 두 변 길이를 곱해서 더하면 대각선 길이를 곱한 것과 같다. 그림에서 `ac+bd=ef`이다.

 증명 그림과 같이 `\Delta ABD`를 `A`를 중심으로 `\angle DAC` 만큼 회전한 삼각형을 `\Delta AB'D'`라고 하고 `\overline {AB}'`와`\overline {BC}`가 만나는 점을 `E`라고 하자.
 

 
`\angle ACB=  \angle ADB = \angle AD'B'`
`\Delta AEC`와 `\Delta AB'D'`는 닮음이다.
`\overline {AC}:\overline {AD}'=\overline {EC}:\overline{B'D'}`
`d:e =\overline {EC}:b`
`\therefore bd =e  \overline {EC}`

 

 마찬가지로 `\Delta ACD`를 `\overline{AD}`가 `\overline{AB}`와 포개어지도록 회전하면,

 

`\angle ABE=  \angle ADC = \angle AD'C'`
`\Delta ABE`와 `\Delta AD'C'`는 닮음이다.
`\overline {AB}:\overline {AD'}=\overline {BE}:\overline {D'C'}`
`a:e = \overline {EB}:c`
`\therefore ac=e \overline{BE}`

`\therefore ac+bd=e(\overline{BE}+\overline{EC})=ef`