아스트로이드(astroid)

아스트로이드(astroid)는 별 모양으로 생긴 곡선이다. 이 별 모양 곡선은 1691~92년에 요한 베르누이(Johann Bernoulli)가 처음으로 제시하였다. 1715년 라이프니츠의 서신에도 나타난다. 이것은 4개의 뾰족점을 가지고 있어서 때때로 사첨체라고 불린다. 아스트로이드라는 이름은 1836년에 비엔나에서 출판된 책에 등장한다. 아스트로이드는 1836년 이후에도 입방사이클로이드(cubocycloid)와 파라사이클(paracycle)을 포함하여 문헌에서 다양한 이름으로 알려졌다.

아스트로이드를 그리는 여러 가지 방법

원에 내접하는 원을 굴려서 그리기

반지름이 $1$인 원 안에 반지름이 $\displaystyle{\frac{1}{4}}$인 원이 내접하고 있다고 하자. 아래와 같이 내접하는 원을 굴릴 때 처음에 접점이었던 점이 그리는 자취가 바로 아스트로이드이다. 이 곡선은 하이포사이클로이드 가운데 하나이다.

이 곡선의 방정식은 $$x^{2/3}+y^{2/3}=1$$이다.

이 곡선의 길이 $L$를 구해보자.

$$\frac{2}{3}x^{- 1/3}+\frac{2}{3}y^{- 1/3}\frac{dy}{dx}=0$$

$$ \frac{dy}{dx}=\frac{y^{1/3}}{x^{1/3}}$$이므로

$$L=4\int_{0}^{1}\sqrt{1+\bigg(\frac{dy}{dx}\bigg)^2}dx=4\int_{0}^{1}x^{- 1/3}dx=6$$

한편 두 원의 중심을 잇는 직선과 $x$이 이루는 각 $\theta$를 매개변수로 하여 나타내면

$$x=\cos^3 \theta\;\;y=\sin^3 \theta$$

포락선을 찾아서 그리기

또 다른 방법으로 아스트로이드를 그릴 수 있다.

astroid - GeoGebra

지오지브라 클래식 - GeoGebra

그 밖의 또 다른 방법

아래를 보면 더 많은 방법을 찾을 수 있다.

http://xahlee.info/SpecialPlaneCurves_dir/Astroid_dir/astroid.html

Astroid