Brachistochrone and tautochrone

수학 이야기/미적분(고교) 2018. 6. 19. 18:54
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17세기 변분법(calculus of variation) 문제가 있다. 

수직으로 세워진 평면 위에 두 점이 있다. 어떤 물체가 어느 한 점에서 나머지 다른 점까지 움직인다고 하자. 이 운동은 오로지 질량에만 의존한다고 가정할 때, 가장 짧은 시간에 다른 점에 이를 수 있는 곡선을 찾아라.

위 문제는 다음을 가정한다. 중력 가속도는 크기와 방향이 정해져 있고 물체는 질량만 있으며 마찰이나 관성 모멘트는 무시한다. 또한 에너지가 추가되거나 사라지지 않는다. 베르누이가 매우 영리한 분석으로 정답은 사이클로이드임을 증명하고 다른 수학자들에게 문제로 냈는데 뉴턴, 라이프니츠, 로피탈이 성공했다고 한다. 특히 뉴턴은 단 하루 만에 해결했다고 하니 수준이 다른 사람이다. 파스칼은 사이클로이드 공부하다가 치통을 잊었다고 하니 치통으로 고생하는 이라면 진통제 대신에 공부를 해보심이 어떨까?

먼저 가장 짧은 시간에 떨어지는 곡선은 Brachistochrone(brah-kiss-toe-krone)으로 부른다. 아래 그림은 사이클로이드가 브라키스토크로네임을 보여 준다.

 

한편 사이클로이드를 따라 움직이는 물체는 곡선 위 어느 점에서 출발해도 바닥에 있는 점에 다다르는 시간은 일정하다. 이런 곡선은 tautochrone(taw-toe-krone)로 부른다. 아래는 사이클로이드가 타우토크로네임을 보여주는 그림이다.

몸풀기

사이클로이드가 브라키스토클로네임을 밝혀보자. 물리 법칙에 따라 떨어지는 물체의 속력은 오로지 처음에 놓인 높이에 따라 결정된다. 운동 방향이나 경로와 상관없다. 가장 낮은 점을 지날 때 최고 속력이 된다. 에너지가 늘어나지 않으므로 물체는 처음 높이보다 더 높이 올라갈 수 없다. 

먼저 최단 경로를 생각할 수 있다. 두 점을 잇는 직선이 길이는 가장 짧다. 하지만 시간이 가장 짧은 곡선일까? 아니다. 만약 두 점이 같은 높이에 있다면 최단 경로는 수평선이다. 수평일 때는 운동이 일어나지 않는다. 중력이 영향을 주어야만 운동이 시작된다. 

직사각형 모양을 가진 경로라면 어떻게 될까? 아래 그림에서 바닥에 다다르는 순간 속력은 오른쪽이 왼쪽보다 빠르다. 물체가 질량을 가지고 있으므로 갑작스럽게 방향을 바꿔 수평으로 움직이려면 무한한 에너지가 필요하다. 갑자기 방향을 바꾸려면 새로운 힘을 더해줘야 가능하므로 불가능하다. 따라서 우리가 찾는 곡선은 뾰족한 점이 없는 매끄러운 곡선이라야 한다. 

아래와 같이 붉은 곡선을 따라 움직인다고 하자. 점 $K$에 아주 가까운 곳에서 일어나는 일을 생각해 보자. $s$가 아주 짧은 길이라고 하자. $s^{\prime}$은 최단 경로다. 각 경로를 움직이는 속력을 $x$,$v^{\prime}$이라 하면 $s\rightarrow 0$일 때, 아래와 같은 성질이 있다.

$$\frac{v^{\prime}}{v}\rightarrow 1, \quad \frac{s^{\prime}}{s}\rightarrow h. \quad 0<h<1$$

$$\frac{s^{\prime}}{s}<\frac{v^{\prime}}{v}\Rightarrow \frac{s^{\prime}}{v^{\prime}}<\frac{s}{v} \Rightarrow t^{\prime}<t$$

마지막 부등식에서 파란 경로가 시간이 더 짧으므로 붉은 경로는 우리가 찾는 경로가 아님을 알 수 있다.

먼저 출발점 $O$에 놓인 구슬은 속도가 $0$이므로 운동에너지(kinetic energy)가 $0$이다. 구슬이 점 $O(0,0)$에서 점 $P(x,y)$로 움직인다면 중력에 따른 위치에너지는 운동에너지로 바뀐다.

$$-mgy= \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}m(0)^2$$

따라서 점 $(x,y)$에 다다랐을 때 속도는 

$$v=\sqrt{-2gy}$$

속력은 오로지 높이에 따라 결정되므로 같은 높이에 있는 점은 속력이 서로 같다. 즉, $C_i =L_i, \quad (i=1,2,3)$이고 속력은 아래로 갈수록 점점 빨라진다. 붉은 곡선을 따라 움직일 때는 검은 직선을 따라 움직일 때와 비교해 보면 더 빠른 속력으로 더 먼 거리를 움직이므로 더 빠르게 $B$에 다다른다. 위로 볼록한 곡선은 직선보다 더 시간이 걸리게 되므로 아래로 볼록한 곡선이라야 한다. 

이제까지 살펴본 바를 정리하면 아래와 같다.

  • 어떤 점도 출발점보다 더 높이 올라가지 않는다.
  • 직선은 해가 되지 않는다.
  • 뾰족한 점이 없는 매끄러운 곡선이다.(미분 가능한 곡선이다.)
  • 아래로 볼록하다.

 

이제 해를 찾아보자.

베르누이는 빛이 굴절할 때 적용하는 스넬의 법칙을 활용하여 해를 찾았다. 

빛은 언제나 시간이 가장 짧게 걸리는 경로를 따라 이동한다. 매질 1과 2에서 빛의 속도를 각각 $v_1 ,v_2$라고 하자.

$$t=t_{1}+t_{2}=\frac{\overline{AP}}{v_{1}}+\frac{\overline{PB}}{v_{2}}=\frac{\sqrt{a^2 +x^2}}{v_1} +\frac{\sqrt{b^2 +(d-x)^2}}{v_2}$$

$$\frac{dt}{dx} = \frac{x}{v_1 \sqrt{a^2 +x^2}}-\frac{d-x}{v_2 \sqrt{b^2 +(d-x)^2}}=\frac{\sin\theta_1}{v_1}-\frac{\sin\theta_2}{v_2}$$

이동 시간 $t$는 $\displaystyle{\frac{dt}{dx}=0}$일 때 최솟값을 가진다. 

$$\frac{\sin\theta_1}{v_1}=\frac{\sin\theta_2}{v_2}$$

 

이제 빛이 한없이 촘촘하게 이어진 매질을 지난다고 하면

$$\frac{v}{\sin\theta}=c,\quad (c:constant)$$

$$\frac{v ds}{dx}=c$$

$$v^2 (ds)^2 =c^2 (dx)^2$$

$$v^2 [(dx)^2 +(dy)^2]=c^2 (dx)^2$$

$$v^2 (dy)^2=(c^2-v^2)(dx)^2$$

$$\bigg(\frac{dy}{dx}\bigg)^2=\frac{c^2-v^2}{v^2}$$

$$\bigg(\frac{dy}{dx}\bigg)^2=\frac{c^2+2gy}{-2gy}$$

$$\bigg(\frac{dy}{dx}\bigg)^2=\frac{- \frac{c^2}{2g}-y}{y}$$

이제 사이클로이드도 같은 미분방정식을 만족하는 것을 보이자.

아래 그림에서 $OD=$ 호 $DP$이므로 $$x=\stackrel\frown{DP}-PE$$

$G\rightarrow P$일 때, $QP\bot GP$가 되므로 $\bigtriangleup PGF$는 $\bigtriangleup QPE$와 닮음이 된다.

 

$$\frac{dy}{dx}=\lim_{G\rightarrow P}\frac{-FG}{PG+PF}$$

$$\frac{dy}{dx}=\frac{-PE}{PQ+QE}$$

$$\bigg(\frac{dy}{dx}\bigg)^2=\frac{(PE)^2}{(PQ+QE)^2}$$

$$\bigg(\frac{dy}{dx}\bigg)^2=\frac{(PQ)^2-(QE)^2}{(PQ+QE)^2}$$

$$\bigg(\frac{dy}{dx}\bigg)^2=\frac{r^2-(-r-y)^2}{(r+(-r-y))^2}$$

$$\bigg(\frac{dy}{dx}\bigg)^2=\frac{-2ry-y^2}{y^2}$$

$$\bigg(\frac{dy}{dx}\bigg)^2=\frac{-2r-y}{y}$$

 

오일러 방법으로 해를 찾자.

 
계산을 편하게 하기 위해 마지막 방정식에서 $x$축에 대칭이동 $x=x,y=-y$하자. 
$$\bigg(\frac{dy}{dx}\bigg)^2=\frac{2r-y}{y}, \quad y\geq 0$$
$$\frac{dy}{dx}=\sqrt{\frac{2r-y}{y}}$$
먼저 $y=r-r\cos\theta$로 치환하자. $\theta=0$일 때, $x=y=0$이다.
$$\frac{dy}{dx}=\sqrt{\frac{r(1+\cos\theta)}{r(1-\cos\theta)}}=\frac{\cos \frac{\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}$$
$$dy =r\sin \theta d \theta=2r\sin\frac{\theta}{2}\cos \frac{\theta}{2} d\theta$$
$$dx=2r\sin^2\frac{\theta}{2} d \theta=r(1-\cos\theta)d \theta$$
$$x=r(\theta-\sin\theta)$$
그러므로 주어진 미분방정식의 해는
 
$$x=r(\theta-\sin\theta),\quad y=r(1-\cos\theta)$$

사이클로이드가 유일한 해인가는 아직 보이지 않았다. 시간이 없어서 다음을 기약한다.

사이클로이드 자세히 알아보기

참고

http://whistleralley.com/brachistochrone/brachistochrone.htm

http://www.osaka-ue.ac.jp/zemi/nishiyama/math2010/cycloid.pdf

http://www.math.rug.nl/~broer/pdf/ws-ijbc.pdf

 

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