함수의 연속성(Continuity)

함수의 연속성(Continuity)

함수 $f(x)$에서 $x=a$에서 함수값과 극한값이 모두 존재하고 그 값이 같을 때 $x=a$에서 연속이라고 한다.

아래를 모두 만족하면 함수 $f(x)$는 $x=a$에서 연속이다.

1) $x=a$에서 정의되어 있고

2) $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)}$가 존재하며

3) $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)}$이다.

간단하게 적으면 $ \displaystyle{\lim_{x \rightarrow a} f(x)=f(a) }$이다.

문제. 함수 $\displaystyle{f(x)= \cases{\frac{x^2 -1}{x-1} \;\;\quad ( x \not= 1) \\1 \;\; \quad \quad \quad (x =1)}} $은 $x=1$에서 연속인가?


교육과정을 벗어난 내용이지만 생각해 봅시다.



심화. 함수$f(x)=\begin{cases}0 &x \in Q\\1& x \in R-Q\end{cases}$은 $x=0$에서 연속인가?



풀이) $x$가 유리수 값만을 가지면서 $0$에 한없이 가까워지는 경우 $f(x) \rightarrow 0$이고 $x$가 무리수 값만을 가지면서 $0$에 한없이 가까워지는 경우 $f(x) \rightarrow 1$이므로 극한값이 존재하지 않는다.

마찬가지로 생각해보면 이 함수는 모든 실수에서 불연속인 함수이다.


심화. 함수 $f(x)=\begin{cases}0 &x \in Q\\x& x \in R-Q\end{cases}$은 $x=0$에서 연속인가?


풀이) $x$가 유리수 값만을 가지면서 $0$에 한없이 가까워지는 경우 $f(x)\rightarrow 0$이고

$x$가 무리수 값만을 가지면서 $0$에 한없이 가까워지는 경우 $f(x)\rightarrow 0$이다.

$$\therefore \lim_{x \rightarrow 0 }{f(x)}=0=f(0)$$

이다. 이 함수 `f(x)`는 `x=0`에서 연속이다.


다른 실수에 대하여는 극한값이 존재하지 않는다. 따라서 `x=0`에서만 연속이다.


 

구간(interval)

두 실수 $a,b$ 에 대하여 다음 실수의 부분집합  $ \{x| a < x < b\} ,\;\; \{x| a \leq x < b\} , \;\; \{x| a < x \leq b \} $, $\;\;  \{x| a \leq x \leq b\}$을 구간이라고 한다. 각각을 $(a,b),\;[a,b),\;(a,b],\;[a,b] $로 나타낸다.


특히, $(a,b)$는 열린구간(open interval) $[a,b]$는 닫힌구간(closed interval)이라고 한다. $\{x|a \lt x\}$도 구간이라고하며 $(a,\infty)$로 나타낸다. 마찬가지로 $\{x | x < b\}$는 $(-\infty,b)$와 같이 나타낸다.


모든 실수의 집합  $\mathbb{R}$도 구간으로 보고, $(-\infty,\infty)$로 나타낸다. 함수 $f(x)$가 그 정의역에 속하는 모든 실수에 대하여 연속일 때, 연속함수라고 한다.


예) 함수 $\displaystyle{f(x)= \frac{1}{x} }$은 $x=0$에서 불연속이지만 $x=0$은 정의역에 속하지 않는다. 정의역 $(-\infty,0) \cup (0, \infty)$의 모든 점에서 연속이므로 연속함수이다.

또, 함수 $f(x)$가 열린구간 $(a,b)$의 모든 점에서 연속일 때, $f(x)$는 열린구간에서 연속이라고 한다.


함수 $f(x)$가 열린구간에서 연속이고, $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a+} f(x)=f(a), \;\; \lim_{x\rightarrow b-} f(x)=f(b)}$이면 함수는 닫힌구간 $[a,b]$에서 연속이라고 한다.


 

연속함수의 성질

1) 최대, 최소 정리

함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a,b]$에서 연속이면, 이 함수는 닫힌구간 $[a,b]$에서 반드시 최댓값과 최솟값을 가진다.


2) 사잇값 정리(Intermediate Value Theorem)

함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a,b]$에서 연속이고 $f(a) \not= f(b)$일 때, $f(a)$와 $f(b)$사이에 있는 임의의 값 $k$에 대하여 $f(c)=k$인 실수 $c$가 $a$와 $b$사이에 반드시 적어도 하나 존재한다.

문제. 구간 $[0, \pi]$에서 방정식 $x-\cos x=0$의 근이 존재하는 열린구간을 $(a,b)$라 할 때, $\displaystyle{|b-a| \leq \frac {\pi}{12}}$를 만족하는 상수 $a,b$를 구하고 그 이유를 설명하여라.


풀이) 그래프는 다음과 같다.



방정식의 근은 $\displaystyle{(0, \frac{\pi}{2 }]}$구간에 있으며 $f(x)=x-\cos x$라 할 때, $$f\big(\frac{\pi}{6} \big)=\frac{\pi}{6}- \frac{\sqrt3}{2}  < 0 , \;\; f\big( \frac{\pi}{4 }\big)= \frac{\pi}{4} - \frac{\sqrt2}{2}> 0$$ 이고 $f(x)$는 연속함수이므로 사잇값 정리에 따라 $f(c)=0$이 되는 $c$가 열린구간 $\displaystyle{\big(\frac{ \pi}{6} ,\frac{ \pi}{ 4} \big)}$에 적어도 하나 존재한다.




연속 확장 가능과 불가능

1) 연속 확장 가능

$x=1$에서 정의되어 있지 않은 함수  $\displaystyle{f(x)= \frac{x^2 -1}{x-1}}$은   $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1}f(x)}$의 극한값이 존재한다.


따라서,  $\displaystyle{f(1)=\lim_{x\rightarrow 1}f(x)}$로 정의하면 $x=1$에서 연속이 된다. 이런 함수를 $x=1$에서 연속확장 가능한 함수라고 한다.

함수 $\displaystyle{ f(x)=x \sin \frac{1}{x}} $는 $x=0$에서 확장가능하다.



2) 연속 확장 불가능$\displaystyle{f(x)=\sin \frac{1}{x}} $은 $x=0$에서 확장 불가능하다.