$\int \sec x dx$

$\sec x$를 적분하는 방법

1. 분모와 분자에 $\sec x+ \tan x$를 곱해서 적분

$$\int \sec x dx=\int \sec x \frac{\sec x+ \tan x}{\sec x+ \tan x}dx=\int \frac{1}{y}dy=\ln|y|+C=\ln|\sec x+ \tan x|+C$$

$$(\because\;y=\sec x+ \tan x\;\;dy=(\sec x \tan x +\sec^2 x)dx=\sec x(\sec x+ \tan x)dx)$$

이 방법은 아주 간단하지만 기교를 잘 외워두지 않으면 쓸모가 없다.

2. 부분분수로 바꿔서 적분

  $$\int \sec x dx=\int \frac{1}{\cos x}dx=\int \frac{\cos x}{\cos^2 x}dx =\int \frac{\cos x}{1-\sin^2 x}dx =\int \frac{1}{1-y^2}dy$$

$$(\because\;\;y=\sin x\;\;dy=\cos x dx)$$

$$=\int\frac{1}{2}\bigg[\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1-y}\bigg]dy=\int\frac{1}{2}\bigg[\frac{1}{1+y}-\frac{1}{y-1}\bigg]dy$$

$$=\frac{1}{2}\bigg[\ln |y+1|-\ln |y-1|\bigg]+C=\frac{1}{2} \ln \bigg|\frac{y+1}{y-1}\bigg|+C=\frac{1}{2} \ln \bigg|\frac{\sin x+1}{\sin x-1}\bigg|+C$$

 

$\displaystyle{\frac{\sin x+1}{\sin x-1}=\frac{(\sin x+1)^2}{\sin^2 x-1} =\frac{(\sin x+1)^2}{-\cos^2 x}}$이므로 다시 정리하면$\displaystyle{\frac{1}{2} \ln \bigg|\frac{\sin x+1}{\sin x-1}\bigg| =\frac{1}{2}\bigg|\frac{(\sin x+1)^2}{\cos^2 x}\bigg|=\ln \bigg|\frac{\sin x+1}{\cos x}\bigg|= \ln|\sec x+ \tan x|}$이다.

조금 복잡하지만 그래도 1번보다는 기억하기 쉽다.