평행이동하여 정적분 구하기

정적분을 하다보면 계산이 무척 복잡하여 빨리 구하기 어려울 때가 많다.

이 때 함수를 평행이동하여 적분하면 간편하게 구할 수 있을 때가 많다.

다음 정적분의 값을 구해보자.

$$\int_{-2}^{3} (x+2)(x-3)dx$$ 

먼저 전개를 하면

$$\int_{-2}^{3} (x^2 -x-6)dx$$

이 된다.

그리 어렵지는 않지만 귀찮다.

함수를 $x$축 방향으로 $2$ 평행이동하고 구간도 같이 옮겨주면 정적분 값은 같다.

따라서 $\int_{0}^{5} x(x-5)dx$의 값을 구하면 된다.

이것은 $x+2=t$로 치환한 것과 같은 의미다.

일반적으로 $$\int_{\alpha}^{\beta} a(x-\alpha)(x-\beta)dx$$

에서 $x-\alpha=t$로 치환하면

$$a \int_{0}^{\beta-\alpha} t\{t-(\beta-\alpha)\}dx=a\bigg[\frac{1}{3}t^3 - \frac{1}{2}(\beta-\alpha)t^2\bigg]_{0}^{\beta-\alpha}$$

$$= -\frac{a}{6} (\beta-\alpha)^3$$이다.

$y=1-x^2$과 $x=2$, $y=0$으로 둘러싸인 부분을 $x$축을 둘레로 회전한 회전체의 부피를 구해보자.

풀이) $$\pi\int_{-1}^{2}(1-x^2 )^2 dx$$를 계산하면 된다.

$$\pi{\int_{-1}^{1}(1-x^2 )^2 dx+\pi\int_{1}^{2}(1-x^2 )^2 dx}$$

$$=\pi\cdot{2\int_{-1}^{0}(1-x)^2 (1+x)^2 dx+\pi\int_{1}^{2}(1-x)^2 (1+x)^2 dx}$$

앞부분은 $1+x=t$로 뒷부분을 $1-x=s$로 치환하자.

$$=\pi\cdot{2\int_{0}^{1}(2-t)^2 t^2 dt+\pi\int_{0}^{1}s^2 (2+s)^2 ds}$$로 바뀌어 조금 편하게 정적분 값을 구할 수 있다.