원에 대한 반전 기하

기하학에서 반전 기하는 유클리드 평면의 변환에서 유형을 일반화할 때 보존되는 도형의 성질을 연구하는 것이다. 이런 변환은 각을 보존하고 일반화된 원을 일반화된 원으로 반전한다. 일반화된 원은 원 또는 선(거칠게 말하면 반지름이 무한한 원)을 뜻한다. 기하학에서 많은 어려운 문제는 반전을 적용하면 훨씬 다루기 쉽다.

두 점 $P$와 $P^{\prime}$가 아래 식을 만족하면 두 점은 서로 중심이 점 $O$인 원 c에 대한 반전(circle inversion)이다.

$$OP\times OP^{\prime}=r^2$$

위에 있는 식을 다르게 표현하면 아래와 같다.

$$r:OP=OP^{\prime}:r$$

따라서 아래 그림과 같이 작도할 수 있다. 

1. 원 내부에 있는 점 $P$

직선 $OP$를 긋는다.

점 $P$에서 직선 $OP$에 수직이 직선과 원의 교점 $N$을 찾는다.

점 $N$에서 직선 $ON$에 수직인 직선을 긋는다.

직선 $OP$와 $NP$가 만나는 점 $P^{\prime}$가 반전이다.

2. 원 외부에 있는 점 $P$

선분 $OP$가 지름인 원을 그린다.

두 원의 교점 $N, N^{\prime}$을 찾는다.

직선 $NN^{\prime}$과 $OP$가 만나는 점 $P^{\prime}$가 반전이다.

점 $P$가 중심 $O$에 가까워지면 반전인 점 $P^{\prime}$는 점점 멀어진다. 마침내 중심과 $P$가 포개어진다면 $NP^{\prime} //OP$라고 생각할 수 있으므로 중심의 반전은 무한원점이다. 

아래 그림에서와 같이 중심을 지나는 원 d의 반전은 직선이다. 

 

 

그림과 같이 파란 원이 붉은 원의 중심을 지나면 파란 원의 붉은 원에 대한 반전은 녹색 직선이다. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

원 위에 있는 점은 그 자신이 반전이다. 중심을 지나지 않는 원의 반전은 원이다.

 

 

 

 

 

 

 

 

원의 반전은 원이지만 중심은 중심으로 반전되지는 않는다. '각', '만난다', '접한다'와 같은 성질은 반전에서도 그대로 보존된다. 

 

같이 보면 좋은 자료

http://www.malinc.se/noneuclidean/en/circleinversion.php

Non-Euclidean Geometry: Inversion in Circle

http://xahlee.info/math/geometric_inversion.html

Geometric Inversion, WolframLang Code