공간 곡선 운동에 관하여::::수학과 사는 이야기

공간 곡선 운동에 관하여

수학이야기/Calculus 2019. 10. 21. 15:19
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원기둥에 있는 나선을 따라 운동하는 점

나선 모양 곡선은 헬릭스(Helix)인데 그리스에서 꼬인 곡선을 일컫는 말 (ἕλιξ)에서 온 말이다. 나선 위에 있는 점을 위치벡터로 나타내면 아래와 같다. 

r=acosti+asintj+btkr=acosti+asintj+btk

따라서 속도와 가속도는 아래와 같다.

v=asinti+acostj+bkv=asinti+acostj+bk

a=acostiasintj+0ka=acostiasintj+0k

속력과 가속도의 크기를 구해보자.

|v|=(asint)2+(acost)2+b2=a2+b2|v|=(asint)2+(acost)2+b2=a2+b2

|a|=(asint)2+(acost)2=a|a|=(asint)2+(acost)2=a

호의 길이를 구하는 함수는 아래와 같다.

s(t)=t0a2+b2dτ=a2+b2ts(t)=t0a2+b2dτ=a2+b2t

주어진 곡선을 변수 ss로 매개화하면 아래와 같다.

r=acossa2+b2i+asinsa2+b2j+bsa2+b2kr=acossa2+b2i+asinsa2+b2j+bsa2+b2k

drds=T=aa2+b2sinsa2+b2i+aa2+b2cossa2+b2j+ba2+b2kdrds=T=aa2+b2sinsa2+b2i+aa2+b2cossa2+b2j+ba2+b2k

dTds=κN=aa2+b2cossa2+b2i+aa2+b2sinsa2+b2j+0kdTds=κN=aa2+b2cossa2+b2i+aa2+b2sinsa2+b2j+0k

a>0a>0일 때, 곡률을 계산하면 

|dTds|=κ=aa2+b2dTds=κ=aa2+b2이다. 따라서 곡률벡터는 아래와 같다.

N=cossa2+b2isinsa2+b2j+0kN=cossa2+b2isinsa2+b2j+0k

이중법선벡터를 구해보자.

B=T×N=|ijkaa2+b2sinsa2+b2aa2+b2cossa2+b2ba2+b2cossa2+b2sinsa2+b20|=1a2+b2[bsinsa2+b2ibcossa2+b2j+ak]

비틀림을 나타내는 토션은 아래와 같다.

dBds=1a2+b2[bcossa2+b2i+bsinsa2+b2j+0k]

τ=|dBds|=ba2+b2

위키피디아: 나선 모양의 보기

 

Helix - Wikipedia

From Wikipedia, the free encyclopedia Jump to navigation Jump to search Type of smooth space curve The right-handed helix (cos t, sin t, t) from t = 0 to 4π with arrowheads showing direction of increasing t A helix (), plural helixes or helices (), is a ty

en.wikipedia.org

https://www.geogebra.org/m/uHfMdcx3

 

공간곡선 그리기

Space Curve 작성자 : Oystein — 2012년 12월 05일 - 13:14 위의 자료를 더욱 발전시킨 것입니다.

www.geogebra.org

 

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