공간 곡선 운동에 관하여
수학이야기/Calculus 2019. 10. 21. 15:19나선 모양 곡선은 헬릭스(Helix)인데 그리스에서 꼬인 곡선을 일컫는 말 (ἕλιξ)에서 온 말이다. 나선 위에 있는 점을 위치벡터로 나타내면 아래와 같다.
r=acosti+asintj+btkr=acosti+asintj+btk
따라서 속도와 가속도는 아래와 같다.
v=−asinti+acostj+bkv=−asinti+acostj+bk
a=−acosti−asintj+0ka=−acosti−asintj+0k
속력과 가속도의 크기를 구해보자.
|v|=√(−asint)2+(acost)2+b2=√a2+b2|v|=√(−asint)2+(acost)2+b2=√a2+b2
|a|=√(−asint)2+(acost)2=a|a|=√(−asint)2+(acost)2=a
호의 길이를 구하는 함수는 아래와 같다.
s(t)=∫t0√a2+b2dτ=√a2+b2ts(t)=∫t0√a2+b2dτ=√a2+b2t
주어진 곡선을 변수 ss로 매개화하면 아래와 같다.
r=acoss√a2+b2i+asins√a2+b2j+bs√a2+b2kr=acoss√a2+b2i+asins√a2+b2j+bs√a2+b2k
drds=T=−a√a2+b2sins√a2+b2i+a√a2+b2coss√a2+b2j+b√a2+b2kdrds=T=−a√a2+b2sins√a2+b2i+a√a2+b2coss√a2+b2j+b√a2+b2k
dTds=κN=−aa2+b2coss√a2+b2i+−aa2+b2sins√a2+b2j+0kdTds=κN=−aa2+b2coss√a2+b2i+−aa2+b2sins√a2+b2j+0k
a>0a>0일 때, 곡률을 계산하면
|dTds|=κ=aa2+b2∣∣∣dTds∣∣∣=κ=aa2+b2이다. 따라서 곡률벡터는 아래와 같다.
N=−coss√a2+b2i−sins√a2+b2j+0kN=−coss√a2+b2i−sins√a2+b2j+0k
이중법선벡터를 구해보자.
B=T×N=|ijk−a√a2+b2sins√a2+b2a√a2+b2coss√a2+b2b√a2+b2−coss√a2+b2−sins√a2+b20|=1√a2+b2[bsins√a2+b2i−bcoss√a2+b2j+ak]
비틀림을 나타내는 토션은 아래와 같다.
dBds=1a2+b2[bcoss√a2+b2i+bsins√a2+b2j+0k]
τ=|dBds|=ba2+b2
Helix - Wikipedia
From Wikipedia, the free encyclopedia Jump to navigation Jump to search Type of smooth space curve The right-handed helix (cos t, sin t, t) from t = 0 to 4π with arrowheads showing direction of increasing t A helix (), plural helixes or helices (), is a ty
en.wikipedia.org
https://www.geogebra.org/m/uHfMdcx3
공간곡선 그리기
Space Curve 작성자 : Oystein — 2012년 12월 05일 - 13:14 위의 자료를 더욱 발전시킨 것입니다.
www.geogebra.org
수학이야기님의
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