공간 곡선 운동에 관하여

원기둥에 있는 나선을 따라 운동하는 점

나선 모양 곡선은 헬릭스(Helix)인데 그리스에서 꼬인 곡선을 일컫는 말 (ἕλιξ)에서 온 말이다. 나선 위에 있는 점을 위치벡터로 나타내면 아래와 같다. 

$$\mathbf{r}=a\cos t \mathbf{i}+a\sin t \mathbf{j}+ b t\mathbf{k}$$

따라서 속도와 가속도는 아래와 같다.

$$\mathbf{v}=-a\sin t \mathbf{i}+a\cos t \mathbf{j}+ b \mathbf{k}$$

$$\mathbf{a}=-a\cos t \mathbf{i}-a\sin t \mathbf{j}+ 0\mathbf{k}$$

속력과 가속도의 크기를 구해보자.

$$|\mathbf{v}|=\sqrt{(-a\sin t )^2 +(a\cos t)^2 + b^2}=\sqrt{a^2 +b^2}$$

$$|\mathbf{a}|=\sqrt{(-a\sin t )^2 +(a\cos t)^2 }=a$$

호의 길이를 구하는 함수는 아래와 같다.

$$s(t)=\int_{0}^{t}\sqrt{a^2 +b^2}d\tau=\sqrt{a^2 +b^2}t$$

주어진 곡선을 변수 $s$로 매개화하면 아래와 같다.

$$\mathbf{r}=a\cos \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2} } \mathbf{i}+a\sin \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2} }\mathbf{j}+ \frac{bs}{\sqrt{a^2 +b^2}} \mathbf{k}$$

$$\frac{d \mathbf{r}}{d s}=\mathbf{T}=\frac{-a}{\sqrt{a^2 +b^2} }\sin \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2} } \mathbf{i}+\frac{a}{\sqrt{a^2 +b^2} }\cos \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2} }\mathbf{j}+ \frac{b}{\sqrt{a^2 +b^2}} \mathbf{k}$$

$$\frac{d \mathbf{T}}{d s}=\kappa \mathbf{N}=\frac{-a}{a^2 +b^2 }\cos \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2} } \mathbf{i}+\frac{-a}{a^2 +b^2} \sin \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2} }\mathbf{j}+ 0 \mathbf{k}$$

$a>0$일 때, 곡률을 계산하면 

$$\bigg|\frac{d\mathbf{T}}{ds}\bigg|=\kappa=\frac{a}{a^2 +b^2 }$$ 이다. 따라서 곡률벡터는 아래와 같다.

$$\mathbf{N}=-\cos \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2} } \mathbf{i}- \sin \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2} }\mathbf{j}+ 0 \mathbf{k}$$

이중법선벡터를 구해보자.

$$\begin{split}\mathbf{B}&=\mathbf{T}\times\mathbf{N}=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\frac{-a}{\sqrt{a^2 +b^2} }\sin \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2} }&\frac{a}{\sqrt{a^2 +b^2} }\cos \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2} }&\frac{b}{\sqrt{a^2 +b^2}}\\-\cos \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2} } &- \sin \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2} }&0\end{vmatrix}\\&=\frac{1}{\sqrt{a^2 +b^2 }}\bigg[ b\sin \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2}}\mathbf{i} - b\cos \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2}}\mathbf{j}+ a \mathbf{k}\bigg]\end{split}$$

비틀림을 나타내는 토션은 아래와 같다.

$$\frac{d\mathbf{B}}{ds}=\frac{1}{a^2 +b^2}\bigg[ b\cos \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2}}\mathbf{i} + b\sin \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2}}\mathbf{j}+ 0 \mathbf{k}\bigg]$$

$$\tau=\bigg| \frac{d\mathbf{B}}{ds} \bigg|=\frac{b}{a^2 +b^2}$$

위키피디아: 나선 모양의 보기

Helix - Wikipedia

https://www.geogebra.org/m/uHfMdcx3

공간곡선 그리기