프레네-세레 틀(Frenet–Serret frame)

미분기하에서 공간 곡선을 다룰 때 프레네 Jean Frédéric Frenet와 Joseph Alfred Serret가 찾아낸 세 벡터 $\mathbf{T,N,B}$를 써서 움직임을 해석한다. 이것이 프레네-세레 틀 또는 티엔비 틀(TNB frame)이다.

이글은 https://suhak.tistory.com/916에 적은 것을 정리한 글이다.

공간 곡선 $\mathbf{r}(t)=x(t)\mathbf{i}+y(t)\mathbf{j}+z(t)\mathbf{k}$이 있다. 이 곡선을 호의 길이를 나타내는 변수 $S$를 매개변수로 다시 나타낼 수 있다. 위치벡터를 $S$의 함수 $\mathbf{r}(s)$로 보고 $s$에 대하여 미분하면서 세 단위벡터 $\mathbf{T,N,B}$를 찾는다. 정의는 아래와 같다.

정의 주어진 곡선이 모든 점에서 미분가능한 매끄러운 곡선이고 곡률 $\kappa\not=0$임을 가정하자.

단위 접선벡터(unit tangent vector)  $\displaystyle{\mathbf{T}=\frac{d \mathbf{r}}{d s}}$
단위 법선벡터(unit normal vector) $\displaystyle{\mathbf{N}=\frac{1}{\kappa}\frac{d \mathbf{T}}{ds}}$
단위 이중법선벡터(unit binormal vector)  $\mathbf{B}=\mathbf{T}\times \mathbf{N}$

세 벡터는 다음과 같은 관계가 있다.

$$\displaystyle {\begin{aligned}{\dfrac {d\mathbf {T} }{ds}}&=&\kappa \mathbf {N}& \\{\dfrac {d\mathbf {N} }{ds}}&=-\kappa \mathbf {T} &&+\tau \mathbf {B} \\{\dfrac {d\mathbf {B} }{ds}}&=&-\tau \mathbf {N} &\end{aligned}}$$

왼쪽 그림과 같이 원기둥과 구가 접할 때 생기는 숫자 8 모양인 교선을 비비안 곡선이라 한다. 이 곡선을 티엔비 세 벡터로 해석하면 오른쪽과 같다.

 비비안 곡선

곡선을 변수 $s$를 매개변수로 바꾸는 일은 대체로 복잡하다. 따라서 아래와 같은 변수 $t$에 대한 미분으로 계산하는 공식을 알아두어야 한다.

곡률과 비틀림을 구하는 공식

$$\begin{split}\kappa&=\frac{|\mathbf{r}^{\prime}\times\mathbf{r}^{\prime\prime}|}{|\mathbf{r}^{\prime}|^3}=\frac{|\mathbf{v}\times\mathbf{a}|}{|\mathbf{v}|^3}\\\tau&=\frac{det(\mathbf{r}^{\prime},\mathbf{r}^{\prime\prime},\mathbf{r}^{\prime\prime\prime})}{|\mathbf{r}^{\prime}\times \mathbf{r}^{\prime\prime}|^2}=\frac{(\mathbf{r}^{\prime}\times\mathbf{r}^{\prime\prime})\cdot\mathbf{r}^{\prime\prime\prime}}{|\mathbf{r}^{\prime}\times \mathbf{r}^{\prime\prime}|^2}\\&=\frac { \begin{vmatrix} x'& y' &z' \\ x'' &y ''& z''\\x'''&y'''&z'''\end{vmatrix} }{|\mathbf{v} \times \mathbf{a}|^2}={\frac {x'''(y'z''-y''z')+y'''(x''z'-x'z'')+z'''(x'y''-x''y')}{(y'z''-y''z')^{2}+(x''z'-x'z'')^{2}+(x'y''-x''y')^{2}}}\end{split}$$