선적분(line integral)

이변수 함수 $z=f(x,y)$에서 $xy$평면에 있는 곡선 $C$를 따라 적분하는 그림이다. 그림처럼 곡선 위에 있는 점에서 함숫값이 양수라면 곡선 위의 점 $(x,y)$에 높이 $f(x,y)$인 기둥을 세운 것과 같다. 따라서 정적분 값은 기둥면의 넓이가 된다. 곡선을 적당한 분할 $P$로 나누었을 때, 기둥면 넓이를 리만합으로 나타내면 아래와 같다.

$$S_n=\sum_{k=1}^{n}f(x_k, y_k)\Delta s_k$$

곡선을 나타내는 매개변수 방정식이 $\mathbf{r}(t)=x(t)\mathbf{i}+y(t)\mathbf{j}$라고 한다면 정적분은 아래와 같이 계산하면 된다.

$$\lim_{|P|\to 0}\sum_{k=1}^{n} f(x_k,y_k) \Delta s_k=\int_{a}^{b}f(x(t),y(t))\sqrt{(x^{\prime}(t))^2+(y^{\prime}(t))^2}dt$$

 

위와 같은 개념이 선적분(line integral)이다. 공간에 있는 곡선을 따라 작용하는 힘이 하는 일을 계산할 때 필요한 적분이다. 선적분을 아래와 같이 정의한다. 분할을 아래 그림처럼 생각하자.

정의

$f$가 곡선 $C: \quad \mathbf{r}(t)=g(t)\mathbf{i}+h(t)\mathbf{j}+k(t)\mathbf{k}, \;\;a \leq t \leq b$ 위에서 잘 정의되었다면 곡선 $C$ 위에서 $f$의 선적분은 아래와 같다.

$$\int_{C}f(x,y,z)ds=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n}f(x_k,y_k,z_k)\Delta s_k.\tag{1}$$

계산은 아래와 같이 하면 된다.

$$\int_{C}f(x,y,z)ds=\int_{a}^{b}f(g(t),h(t),k(t))|\mathbf{v}(t)|dt=\int_{a}^{b}f(g(t),h(t),k(t))\sqrt{(g^{\prime}(t))^2+(h^{\prime}(t))^2+(k^{\prime}(t))^2}dt$$

보기

아래로 갈수록 밀도가 높은 가는 철로 만든 구조물이 $yz$평면에 있는 반원 $y^2 +z^2 =1$을 따라 놓여 있다. 점 $(x,y,z)$에서 밀도는 $\delta(x,y,z)=2-z$일 때, 이 구조물의 질량중심을 구하여라.

 

$\overline{x}=\overline{y}=0$임은 자명하다. 함수 $\delta$를 반원을 따라 적분하면 질량을 구할 수 있다. 먼저 반원을 매개변수 방정식으로 적고 속도를 구하자.

$$\mathbf{r}(t)=(\cos t) \mathbf{j}+(\sin t) \mathbf{k}, \quad 0 \leq t \leq \pi$$

$$|\mathbf{v}(t)|=\sqrt{0^2+(-\sin t)^2 +(\cos t)^2}=1$$

따라서, $ds=|\mathbf{v}|dt=dt$이다.

$$M=\int_{C} \delta ds=\int_{C}(2-x)ds =\int_{0}^{\pi}(2-\sin t)dt =2\pi-2$$

$$M_{xy}=\int_{C} z\delta ds=\int_{C} z(2-z)ds=\int_{0}^{\pi}\sin t( 2- \sin t)dt =\frac{8-\pi}{2}$$

$$\overline{z}=\frac{M_{xy}}{M}=\frac{8-\pi}{4(\pi-1)}$$