곡선좌표계(Curvilinear coordinates)와 면적분(Surface integral)

곡선좌표계는 극좌표나 구면좌표계와 같이 직교좌표(Cartesian coordinates)를 변환한 좌표계이다.

$$F:\;\;(x,y)\rightarrow (u,v)$$

https://en.wikipedia.org/wiki/Curvilinear_coordinates

Curvilinear coordinates - Wikipedia

좌표 변환은 곡면을 매개화하는 것으로 생각할 수도 있다.

보기 원뿔 곡면 $z=\sqrt{x^2 +y^2}, \quad 0 \leq z \leq 1$을 원기둥 좌표계로 변환하자.

$$x=r \cos \theta,\quad y= r \sin \theta,\quad z=\sqrt{x^2 +y^2}=r$$

곡면 위에 있는 점의 위치벡터는 아래와 같이 나타낼 수 있다.

$$\mathbf{r}(r,\theta)=r\cos \theta \mathbf{i}+r\sin \theta \mathbf{j}+r\mathbf{k}, \quad 0 \leq r \leq 1,\quad 0 \leq \theta \leq 2\pi$$

정의

변환한 좌표계에서 곡면의 넓이는 아래와 같다.

$$\mathbf{r}(u,v)=f(u,v)\mathbf{i}+g(u,v)\mathbf{j}+h(u,v)\mathbf{k}, \quad a \leq u \leq b,\quad c \leq v \leq d$$

$$A=\iint\limits_{R}|\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v| d A=\int_{c}^{d}\int_{a}^{b} |\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v| du dv\tag{1}$$

보기에 있는 원뿔 곡면의 넓이는 아래와 같이 구한다.

$$\begin{split} \mathbf{r}_r \times \mathbf{r}_{\theta} & = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \cos \theta & \sin\theta & 1 \\ -r\sin \theta & r \cos \theta & 0 \end{vmatrix} \\ & =-(r\cos \theta) \mathbf{i}-(r\sin \theta) \mathbf{j}+\underbrace{(r \cos^2 \theta +r \sin^2 \theta ) }_{r}\mathbf{k} \end{split}$$

$$| \mathbf{r}_r \times \mathbf{r}_{\theta} |=\sqrt{(r^2 \cos^2 \theta) + (r^2 \sin^2 \theta) + r^2 }=\sqrt 2 r$$

$$A==\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} |\mathbf{r}_r \times \mathbf{r}_{\theta}| dr d\theta =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} \sqrt2 r dr d\theta=\pi \sqrt2$$

음함수 방정식으로 표현한 곡면의 넓이를 알아보자.

$$F(x,y,z)=c$$

이때 $z=h(x,y)$로 생각하면 위치벡터는 아래와 같이 생각할 수 있다.

$$\mathbf{r}(x,y)=x \mathbf{i} + y\mathbf{j} + h(x,y) \mathbf{k}$$

$$\mathbf{r}_x = \mathbf{i} + \frac{\partial h}{\partial x} \mathbf{k} \quad \mathbf{r}_y = \mathbf{j} + \frac{\partial h}{\partial y} \mathbf{k}$$

한편 아래와 같이 미분하면

$$\begin{split}\frac{d}{dx} F(x,y,z)&= \frac{d}{dx}c \\ F_x \frac{\partial x}{\partial x} + F_y \frac{\partial y}{\partial x} + F_z \frac{\partial z}{\partial x}&=0 \\  F_x \cdot 1 +F_y \cdot 0 + F_z \cdot \frac{\partial h}{\partial x} & =0 \end{split}$$

에서 아래와 같은 관계식을 얻는다.

$$\frac{\partial h}{\partial x} = - \frac{F_x}{F_z}, \quad \frac{\partial h}{\partial y} = - \frac{F_y}{F_z}$$

다시 정리하면 아래와 같다.

$$\mathbf{r}_x = \mathbf{i} - \frac{F_x}{F_z} \mathbf{k}, \quad \mathbf{r}_y = \mathbf{j} - \frac{F_y}{F_z} \mathbf{k}$$

$$\begin{split} \mathbf{r}_x \times \mathbf{r}_{y} & = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & - \frac{F_x}{F_z} \\ 0 & 1 & - \frac{F_y}{F_z} \end{vmatrix} \\ & = \frac{F_x}{F_z}\mathbf{i} + \frac{F_y}{F_z} \mathbf{j}+\mathbf{k} \\ & = \frac{1}{F_z}( {F_x}\mathbf{i} + {F_y} \mathbf{j} + {F_z} \mathbf{k}) \\ & =\frac{\nabla F}{F_z} = \frac{\nabla F}{\nabla F \cdot \mathbf{k}} \\ & = \frac{\nabla F}{\nabla F \cdot \mathbf{p}} \end{split}$$

여기서 $\mathbf{p}$는 주어진 영역에 수직인 단위벡터로 $\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$ 가운데 어느 하나이다.

$$d \sigma =| \mathbf{r}_x \times \mathbf{r}_{y}|dx dy =\frac{|\nabla F|}{|\nabla F \cdot \mathbf{p}|}dx dy$$

음함수 방정식으로 표현된 곡면의 겉넓이는 아래와 같이 구한다.

$$A=\iint\limits_{R} \frac{|\nabla F|}{|\nabla F \cdot \mathbf{p}|}dA \quad\quad \nabla F \cdot \mathbf{p}\not=0$$

정의

선적분과 마찬가지로 주어진 곡면 $S$에서 아래와 같이 면적분을 정의한다.

$$ \iint \limits_{S} G(x,y,z) d \sigma = \lim_{n \to \infty }\sum_{k=1}^{n} G(x,y,z) \Delta \sigma_k\tag{2}$$

계산은 다음과 같이 한다.

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1. 매개변수 방정식 $\mathbf{r}(u,v)=f(u,v)\mathbf{i}+g(u,v)\mathbf{j}+h(u,v)\mathbf{k}$ 으로 주어진 경우

$$\iint\limits_{S}G(x,y,z)d \sigma =\iint\limits_{S}G(f(u,v),g(u,v),h(u,v))|\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v|dudv$$

2. 음함수 방정식 $F(x,y,z)=c$으로 주어진 경우

$$\iint\limits_{S}G(x,y,z)d \sigma =\iint\limits_{R}G(x,y,z) \frac{|\nabla F|}{|\nabla F \cdot \mathbf{p}|}dA $$

3. 함수 $z=f(x,y)$로 주어진 경우

$$\iint\limits_{S}G(x,y,z)d \sigma =\iint\limits_{R}G(x,y,f(x,y)) \sqrt{f_x^2 +f_y^2 +1}dx dy $$

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