정다면체는 오로지 다섯뿐이다.::::수학과 사는 이야기

정다면체는 오로지 다섯뿐이다. 혹시 또 다른 것이 있지 않을까 찾지는 마시라. 아주 오래 오래 전에 유클리드 선생님 다섯뿐임을 증명을 하셨다. 위키백과

영어로는 플라토닉 솔리드(Platonic solid)라고 부르는데 왜일까? 플라톤은 '티마이오스'에서 우주가 네 가지의 원소(불,공기,물,땅)로 이루어져 있다고 말하고 네 원소들을 정다면체에 대응시켜 놓았다. 불=정사면체, 공기=정팔면체, 물=정이십면체, 땅=정육면체 그리고 하나 남은 정십이면체는 우주전체이다.

Tetrahedron

Cube
(or Regular hexahedron)

Octahedron

Dodecahedron

Icosahedron

(Animation)

뒤지면 뭐든지 찾을 수 있다. 원론 (Euclid Elements) 이 있다. 흔히 유클리드 원론이 성경보다 많이 만들어진 책이라고 한다. 못 보았다고 그럴리가. 중학교 1학년 수학책이 원론이나 다름없다.

중학교 때 배워서 정다각형의 한 내각의 크기를 알고 있을 것이다.

정$n$각형의 내각의 합은 $\pi(n-2)$이다. 따라서 한 내각은 $\displaystyle{\frac{\pi(n-2)}{n}}$이다.

정다면체를 만들려면 한 꼭지점에 적어도 정다각형 셋을 모아야 한다. 모인 각들을 더한 값이 $2\pi$보다는 작아야 한다.

정삼각형은 한 내각이 $\displaystyle{\frac{\pi}{3}}$이므로 한 꼭지점에 3,4,5개까지 모을 수 있다. 그림에 정사면체, 정팔면체, 정이십면체가 있다.

정사각형은 한 내각이 $\displaystyle{\frac{\pi}{2}}$이므로 한 꼭지점에 3개까지만 모을 수 있다. 그림에 정육면체가 있다.

정오각형은 한 내각이 $\displaystyle{\frac{3\pi}{5}}$이므로 한 꼭지점에 3개까지만 모을 수 있다. 그림에 정십이면체가 있다.

정육각형은 한 내각이 $\displaystyle{\frac{2\pi}{3}}$이므로 한 꼭지점에 셋만 모아도 합이 $2\pi$이므로 입체를 만들 수 없다. 다른 것들은 각이 더 커지니 더더욱 만들 수 없다.

뭔가 증명이 부족해 보인다. 오일러 정리를 이용하여 증명해 보자.

오일러 정리

구와 연결상태가 같은 다면체의 꼭짓점, 모서리, 면의 개수를 각각 $v,e,f$라고 하면 다음이 성립한다.

$$v-e+f=2$$

증명

각 꼭짓점에 모이는 면의 개수를 $m$, 각 면의 변의 개수를 $n$이라고 하자.

$$nf=2e, \quad\quad nf=mv$$

따라서,

$$e=\frac{nf}{2}, \quad\quad v=\frac{nf}{m} $$

이를 오일러 정리에 넣어서 정리하자.

$$\frac{nf}{m}-\frac{nf}{2}+f=0$$

$$(2n-mn+2m)f=4m\;\;\;\cdots\cdots(i)$$

$m>0,\;\;f>0$이므로

$2n-mn+2m>0$이다. 다시 정리하면 $2m>mn-2n=n(m-2)$이다.

$n \geq 3$이므로 다음이 성립한다.

$$2m>n(m-2) \geq 3(m-2)=3m-6\quad \therefore m<6$$

$m$은 꼭짓점에 모이는 면의 개수이므로 $1,2$는 될 수 없다. 따라서 $m=3,4,5$이다.

1) $m=3$일 때, 식 $(i)$에서

$$(6-n)f=12$$

가능한 해는

$$(n=3,f=4),(n=4,f=6),(n=5,f=12)$$

정사면체(Tetrahedron), 정육면체(Hexahedron), 정십이면체(Dodecahedron)

2) $m=4$일 때, 식 $(i)$에서

$$(4-n)f=8$$

가능한 해는

$$(n=3,f=8)$$

정팔면체(Octahedron)

3) $m=5$일 때, 식 $(i)$에서

$$(10-3n)f=20$$

가능한 해는

$$(n=3,f=20)$$

정이십면체(Icosahedron)

증명 끝.

문제 정다면체의 면과 면이 이루는 각을 $\theta$라고 할 때, $\cos\theta$ 값을 구해보자.

정$n$면체 이면각을 $\theta_n$이라고 하자.

1) 정사면체의 이면각은 아래 그림에서 $\theta=\angle AED$이다.

제2 코사인 법칙으로 간단히 $\displaystyle{\cos\theta_4 = \frac{1}{3}}$임을 알 수 있다.

2) 정육면체는 $\displaystyle{\theta_6 =\frac{\pi}{2}}$바로 알 수 있다.

정사면체 모서리 중점을 잇는 도형을 생각하면 정팔면체가 나타난다. 아래 그림에서 보면 1)에서 구한 각과 더하면 $\pi$임을 알 수 있다.

그러므로 $$\cos \theta_8 =\cos (\pi -\theta_4)=-\cos \theta_4 = -\frac{1}{3}$$

3) 정12면체 그림에서 $\theta_{12}=\angle MWT$이다.

정답 $\displaystyle{\cos\theta_{12} = - \frac{1}{\sqrt5}}$

자세한 풀이 보기

4) 정20면체 그림에서 $\theta_{20}=\angle AMB$이다. 계산은 스스로 해보자.

선분 $AC$는 정5각형 $ABCDE$의 한 대각선임을 이용하면 쉽게 구할 수 있다.

정답 $\displaystyle{\cos\theta_{20} = - \frac{\sqrt5}{3}}$

정다면체 꼭지점을 데카르트 공간좌표로 나타내면 아래롸 같다. 위키피디아에서

Parameters
Figure	Tetrahedron		Octahedron	Cube	Icosahedron		Dodecahedron
Faces	4		8	6	20		12
Vertices	4		6 (2 × 3)	8	12 (4 × 3)		20 (8 + 4 × 3)
Orientation set	1	2			1	2	1	2
Vertex Coordinates	(1, 1, 1) (1, −1, −1) (−1, 1, −1) (−1, −1, 1)	(−1, −1, −1) (−1, 1, 1) (1, −1, 1) (1, 1, −1)	(±1, 0, 0) (0, ±1, 0) (0, 0, ±1)	(±1, ±1, ±1)	(0, ±1, ±φ) (±1, ±φ, 0) (±φ, 0, ±1)	(0, ±φ, ±1) (±φ, ±1, 0) (±1, 0, ±φ)	(±1, ±1, ±1) (0, ±1/φ, ±φ) (±1/φ, ±φ, 0) (±φ, 0, ±1/φ)	(±1, ±1, ±1) (0, ±φ, ±1/φ) (±φ, ±1/φ, 0) (±1/φ, 0, ±φ)
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