스토크스 정리를 정리하자

보통 대학 1학년에서 배우는 미적분학 교재는 대부분 스토크스 정리(Stokes' theorem)가 맨 마지막에 나온다. 스토크스 정리를 완전하게 이해하면 초급 미적분학을 다 배운 것이나 마찬가지다. 이미 스토크스 정리를 정리해 두었으나 댓글로 다양체와 관련된 정리를 부탁한 분이 있어서 위키백과를 살펴 보고 다시 정리해 둔다.

https://en.wikipedia.org/wiki/Stokes%27_theorem

Stokes' theorem - Wikipedia

스토크스 정리는 벡터장을 미적분으로 다루는 미분기하에서 다양체(manifold) 위에서 미분 변수(differential)을 적분하는 것을 간단하게 일반화하는 정리다. 정리하면 방향이 있는 다양체 $\Omega$인 경계 위에서 $\omega$로 얻은 미분의 적분은 전체 $\Omega$ 위에서 밖으로 드러난 미분 $d\omega$의 적분과 같다는 것이다.

참고: 거칠게 말하면 $n$ 차원 다양체(manifold)는 $n$ 차원 유클리드 공간 $\mathbf{R}^n$과 같은 (위상) 구조를 가진다. 원이나 직선과 같은 구조라면 1차원 다양체이다.

$$\int_{\partial \Omega}\omega=\int_{\Omega}d\omega$$

고전적인 켈빈-스토크스 정리는 경계 $\gamma:[a,b]\rightarrow\mathbf{R}^2$를 따라 적분한 선적분 값과 3차원 유클리드 공간 위에서 벡터장 $\mathbf{F}$의 컬(curl)을 면적분한 값 사이의 관계를 정리한 것이다.

경계로 결정된 컴팩트 부분을 $\mathbf{D}$라고 하고 $\psi:\mathbf{D}\rightarrow\mathbf{R}^2$는 매끄러운 곡면 $S=\psi(\mathbf{D})$라 하자. $\Gamma$는 경계로 결정되는 공간곡선 $\Gamma(t)=\psi(\gamma(t))$이고 벡터장 $\mathbf{F}$는 유틀리드 공간 $\mathbf{R}^3$의 매끄러운 벡터장이라 하면 $$\oint_{\Gamma}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{\Gamma}=\iint_{S}\nabla \times \mathbf{F}\cdot d \mathbf{S}$$

위에 적은 정리는 발산정리, 정적분의 기본정리, 그린정리와 함께 앞에서 이야기한 미분기하에서 일반 공식의 특별한 경우다.

아래와 같이 구간 $[a,b]$에서 함수 $f$의 정적분 값은 함수 $f$의 역도함수의 함숫값 차로 결정된다는 정리가 있다. 이 정리를 정적분의 기본정리로 부른다.

https://suhak.tistory.com/76

정적분의 기본 정리

$$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)\quad\quad(F^{\prime}(x)=f(x))$$

시작

이 정리를 아래와 같은 개념으로 일반화한 정리가 바로 스토크스 정리다.

• 역도함수 $F$를 $\displaystyle{\frac{dF}{dx}=f(x)}$로 선택한다. 미분을 써서 다르게 표현할 수 있는데 즉 $f(x)dx$는 0-형 함수 $F$의 바깥으로 드러난 도함수라고 말할 수 있다. 달리 적으면 $dF=fdx$이다. 일반적인 스토크스 정리는 $F$와 같은 0-형 대신에 높은 미분 $\omega$에 적용한다.
• 닫힌 구간 $[a,b]$는 경계가 있는 1차원 다양체(manifold)의 간단한 보기다. 경계는 두 점 $a,b$로 이루어졌다. 주어진 구간에서 $f$의 적분은 더 높은 차원의 다양체를 적분하는 꼴로 일반화할 수 있다. 이때 잘 정의된 적분을 위하여 다양체가 방향(ofientable)을 가지고 컴팩트(compact)라는 두 가지 조건이 필요하다.
• 두 점 $a,b$가 이 닫힌 구간의 경계를 결정한다. 더 일반적으로 스토크스 정리는 경계를 가진 방향이 있는 다양체 $M$에 적용한다. $M$의 경계 $\partial M$은 그 자체가 다양체이고 $M$으로부터 방향을 물려 받는다. 보기로 자연스러운 구간의 방향은 두 경계점의 방향을 준다. 직관적으로 점 $a$는 구간의 반대편 끝 점인 $b$의 반대 방향을 물려 받는다. 

간단하게 말해 보자. 곡선의 경계로 점을 생각할 수 있다. 즉, 1차원 다양체의 경계는 0차원이다.  0차원 경계인 $(\{a,b\})$에서 역도함수 $\mathbf{F}$의 함숫값으로 1차원 다양체  ($[a,b]$) 위에서 적분값 ($fdx=d\mathbf{F}$)을  찾을 수 있으므로 몇몇 조건만 추가하면 $n-1$차원인 경계 ($\partial \Omega$)에서 역도함수 $(\omega)$를 써서 $n$ 차원 다양체 ($\Omega$) 위에서 적분값 ($d \omega$)을 다룰 수 있다. 따라서 정적분의 기본정리를 아래와 같이 읽는다.

$$\int_{[a,b]}f(x)dx=\int_{[a,b]}d \mathbf{F}=\int_{\{a\}^- \cup \{b\}^+}\mathbf{F}=\mathbf{F}(b)-\mathbf{F}(b)$$

경계가 있는 매끄러운 다양체를 위한 공식

$\Omega$는 $n$차원 경계가 있는 방향이 있는 매끄러운 다양체라 하고 $\alpha$는 $\Omega$ 위에 컴팩트하게 지원 받는 $n$형 미분(n-differential form)이다. 첫째로 $\alpha$는 단순 방향 좌표 $\{\mathbf{U},\phi\}$ 안에서 컴팩트하게 지원 받는다고 하자. $\Omega$ 위에서 $\alpha$의 적분은 $\alpha$를 $\mathbf{R}^n$으로 되돌리는 걸 통하여 아래와 같이 정의한다.

$$\int_{\Omega}\alpha=\int_{\phi(\mathbf{U})}\left(\phi^{-1}\right)^{*}\alpha$$

아래와 같이 더 일반적으로 정의한다. $\{\psi_i\}$을 $\{\mathbf{U}_i;\varphi_i \}$와 관련된 분할이라 하자.

$$\int_{\Omega}\alpha \equiv \sum_{i}\int_{\mathbf{U}_i}\psi_i \alpha$$

스토크스-칼탄(Stokes-Cartan) 정리
$\omega$은 경계가 $\Omega$인 컴팩트한 매끄러운 $n$ 차원 다양체를 가진 $n-1$형 미분이고 $\partial \Omega$는 방향이 있는 $\Omega$의 경계를 나타내고 $i: \partial \Omega \rightarrow \Omega$는 포함사상이라면

$$\int_{\Omega}d \omega=\int_{\partial \Omega}i^* \omega$$

참고: 포함사상은 $A \subset B$일 때, $i: A \rightarrow B\;\;\forall x\in A$에 대하여 $i(x)=x$인 사상이다.

따라서 정의역을 축소한다면 $\int_{\partial \Omega}i^* \omega$는 $\int_{\partial \Omega}\omega$로 적어도 된다. $d$는 바깥으로 드러난 도함수이다.  우변은 $\oint_{\partial \Omega}\omega$로 쓰기도 한다.

캘빈-스토크스 정리

물리와 공학에서 스토크스 정리로 부르는 2차원 경우가 있다. 때로는 컬 정리로 부르기도 한다. 전형적인 캘빈-스토크스 정리는 3차원에서 곡면 $\Sigma$ 위에서 벡터장의 회전(curl)을 면적분한 값과 경계에서의 선적분 값 사이의 관계이다. 선적분하는 곡선 $\partial \Sigma$는 그림처럼 곡면의 법선 $\mathbf{n}$일 때, 곡선 $\partial \Sigma$의 점은 반시계방향이 양의 방향으로 정한다.

벡터장 $\mathbf{F}=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))$는 매끄러운 면 $\Sigma$에서 정의되었고 1차 연속 편도함수를 가진다. 

$$\begin{align}
& \iint_\Sigma \Bigg(\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\,dy\,dz +\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x} \right) \,dz\,dx+\left (\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dx\,dy\Bigg) \\= {}& \oint_{\partial\Sigma} \Big(P\,dx+Q\,dy+R\,dz\Big)\,,\end{align}$$

$P,Q,R$은 벡터장 $\mathbf{F}$의 성분 함수이고 $\partial \Sigma$는 매끄러운 면 $\Sigma$를 가진 영역의 경계이다.

그린 정리

그린 정리는 위에 있는 정리의 특별한 경우이다.

3차원 벡터장의 회전(curl)을 품은 네 가지 맥스웰 방정식의 둘과 그들의 미분과 적분형은 캘빈-스코크스 정리와 관계있다.

이름	미분 형	적분 형
맥스웰-패러데이 방정식 유도의 패러데이 법칙	$$\quad \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}$$	$$\begin{align}\quad \oint_C \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} &= \iint_S  \nabla \times \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} \\ &= -\iint_S \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \cdot d\mathbf{A}\end{align}$$
암페어의 법칙	$$\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t} $$	$$\begin{align}\quad \oint_C \mathbf{H} \cdot d\mathbf{l} &= \iint_S \nabla \times \mathbf{H} \cdot d\mathbf{A}\\ &= \iint_S \mathbf{J} \cdot d\mathbf{A} + \iint_S \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} \cdot d\mathbf{A}\end{align}$$

위에 있는 맥스웰 방정식의 일부분은 SI 단위계로 표현된 전자기장에만 유효하다. CGS처럼 다른 단위계에서는 상수를 곱해 주어야 한다. 보기를 들면 가우스 단위계에슨 아래와 같이 적어야 한다. 여기서 $c$는 진공일 때 빛의 속도이다.

$$\begin{align} \nabla \times \mathbf{E} &= -\frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}\,, \\
\nabla \times \mathbf{H} &= \frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t} + \frac{4\pi}{c} \mathbf{J}\,, \end{align}$$

예제 곡선 $\mathbf{C}:\;\;x^2+y^2 =4,\;\;z=2$를 따라 벡터장 $\mathbf{F}=(x^2 -y)\mathbf{i}+4z\mathbf{j}+x^2 \mathbf{k}$의 순환을 구하여라. 곡선은 평면 $z=2$와 원뿔 $z=\sqrt{x^2 +y^2}$이 만나서 만들어지고 방향은 위쪽에서 보았을 떄 반시계 방향이다.

풀이 스코크스 정리에 따라 원뿔 표면 위에서 적분하여 순환을 구할 수 있다. 위쪽에서 바라보았을 때 반시계 방향으로 돌도록 원뿔 안쪽($\mathbf{k}$성분이 양)의 법선벡터 $\mathbf{n}$을 취한다.

원뿔을 매개화하자.

$$\mathbf{r}(r,\theta)=(r\cos \theta)\mathbf{i}+(r\sin \theta)\mathbf{j}+r\mathbf{k}$$

$$\mathbf{r}_r=(\cos \theta)\mathbf{i}+(\sin \theta)\mathbf{j}+\mathbf{k}$$

$$\mathbf{r}_{\theta}=(-r\sin \theta)\mathbf{i}+(r\cos \theta)\mathbf{j}$$

$$\mathbf{r}_r \times\mathbf{r}_{\theta}=\begin{vmatrix}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ \cos \theta &\sin \theta & 1\\ -r\sin \theta & r\cos \theta & 0 \end{vmatrix}=(-r\cos \theta)\mathbf{i}+(-r\sin \theta)\mathbf{j}+r\mathbf{k}$$

$$\mathbf{n}=\frac{\mathbf{r}_r \times\mathbf{r}_{\theta}}{|\mathbf{r}_r \times\mathbf{r}_{\theta}|}=\frac{(-r\cos \theta)\mathbf{i}+(-r\sin \theta)\mathbf{j}+r\mathbf{k}}{r\sqrt2}=\frac{1}{\sqrt2}((-\cos\theta)\mathbf{i}+(-\sin\theta)\mathbf{j}+\mathbf{k})$$

$$d\sigma=|\mathbf{r}_r \times\mathbf{r}_{\theta}|d r d \theta=r\sqrt2 d r d \theta$$

$$\nabla \times \mathbf{F}=-4\mathbf{i}-2x\mathbf{j}+\mathbf{k}=-4\mathbf{i}-2r\cos\theta\mathbf{j}+\mathbf{k}$$

따라서 

$$\nabla \times \mathbf{F}\cdot \mathbf{n}= \frac{1}{\sqrt2}\left(4\cos\theta+2r\cos\theta \sin\theta+1\right)=\frac{1}{\sqrt2}\left(4\cos\theta+r \sin 2\theta+1\right)$$

$$\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d \mathbf{r}=\iint_\limits{S}\nabla \times \mathbf{F}\cdot \mathbf{n}d\sigma = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\frac{1}{\sqrt2}\left(4\cos\theta+r \sin 2\theta+1\right)(r\sqrt2 dr d\theta)=4\pi$$

여기에서 곡면이 어떤가에 영향을 받지 않고 오로지 경계에만 영향을 받으므로 원뿔면이 아닌 원판으로 계산해도 결과는 같다.

이때는 $\mathbf{n}=\mathbf{k}$이므로 계산이 아주 간단하다.

$$\nabla \times \mathbf{F}\cdot \mathbf{n}=1$$

$$\iint_\limits{S} \nabla \times \mathbf{F}\cdot d \sigma=\iint_\limits{x^2 +y^2 \leq 4} dA=4\pi$$