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인구는 기하급수로 늘어난다?
수학이야기 2010. 10. 14. 17:00
'인구론'으로 이름난 영국의 경제학자 맬서스는 인구는 기하급수처럼 느는데 식량 생산은 산술급수에 따라 늘기때문에 식량위기가 닥칠 것이라고 하였다. 현재 인구를 `P_{0}`라고 할 때, 시각 `t`에서 인구를 `P(t)`라고 하면 `P(t)=P_0 e^{kt}`(`k`는 비례상수) 라고 생각하였다. 아직 식량위기라고 오지 않았다. 아프리카와 같은 곳에서 굶어죽는 이들이 많기는 해도 전체 지구에서 생산되는 식량은 남아돌고 있다. 식량 생산도 기하급수까지는 아니더라도 꽤나 빠르게 늘었기 때문이리라. 하지만 앞으로도 식량위기가 없을 것이라 잘라 말할 수 있을까? 맬서스가 내 놓은 함수는 먹이와 공간이 충분할 때 박테리아를 배양하는 것처럼 아주 좋은 조건에선 들어 맞지만 식량이나 공간 또는 천연자원이 무한하지 ..
쾨니히스베르크 다리 문제
수학이야기/확률통계 2010. 10. 14. 10:49
그림처럼 프로이센의 쾨니히스베르크(오늘날 러시아 칼리닌그라드)에는 강이 있고 강으로 둘러싸인 섬이 하나 있다. 섬을 잇는 다리가 7개가 있는데 사람들 가운데 운동이나 산책을 하면서 이 다리들을 모두 한 번씩만 건너서 출발한 곳으로 다시 돌아오려고 하는 이들이 있었다. 아무도 답을 찾지 못하고 있던 문제를 오일러가 각 지점을 점으로 다리는 변으로 생각하는 그래프를 고안하여 그럴 수 없다는 것을 밝혀냈다.(1735년) 위키디피아로 오일러는 어떤 그래프에 한 꼭짓점에서 시작하여 펜을 떼지 않고 모든 변을 한번씩만 지나서 처음 출발점으로 되돌아오는 길을 가지려면 각 꼭짓점에 연결된 변의 개수가 모두 짝수이어야 함을 증명했다. 오늘날 이산수학에서는 위 그림을 아래와 같이 간단하게 그래프로 나타낸다. 그래프 이론에..
벤포드(Benford) 법칙
수학이야기 2010. 10. 8. 12:54
우리 주위에 있는 여러가지 수들 가운데 맨 앞자리 숫자는 어떤 것이 가장 많을까? 보통 `1,2,3, \cdots , 9`가 같은 확률로 나타날 것이라 생각하기 쉽다. 그러나 신문이나 회계장부따위에 나타나는 숫자들을 조사해보면 맨 앞자리에 1이 오는 것들이 무려 30%나 된다고 한다. 이들 숫자들이 이루고 있는 분포를 말해주는 것이 벤포드 법칙이다. 19세기에 쓰던 로그표들이 뒷부분보다 앞부분이 많이 닳고 헤지는 것을 보고 알려진 이 법칙을 정리한 사람이 벤포드이다. 물리학자인 프랭크 벤포드는 농구 통계, 잡지의 기사 수, '아메리칸 멘 오브 사이언스'에 실린 3백42명의 주소들처럼 아무런 관련이 없는 숫자 2천2백29개를 골라 조사하여 법칙을 찾아냈다. 맨 앞자리 숫자가 `k(k=1,2,3, \cdot..
이집트와 바빌로니아 숫자 쓰기
수학이야기 2010. 10. 6. 11:53
이런 저런 책을 읽다가 본 것을 옮겨 놓는다. 이집트 사람들이나 바빌로니아 사람들이 무척이나 앞선 문명을 일구고 있었던 까닭을 알 수 있겠다. 아직도 10을 넘는 수를 쓰지 않고 사는 이들도 많다고 하는데 까마득한 옛날 사람들이 무려 백만이라는 수를 생각하고 썼다는 것이 믿기지 않는다. 오른쪽 그림은 상형문자로 나타낸 이집트 숫자이다. 1을 나타내는 숫자는 수직 막대기인데, 이는 그다지 놀랄 일은 아니다. 10을 나타내는 숫자는 말굽 형상과 비슷한 멍에인데, 열 개씩 한 묶음을 만들어 묶을 때 쓰는 끈 모양을 나타낸다고 보여진다. `10^2`과 `10^3`을 나타내는 숫자는 나선과 연꽃인데, 직접적으로 `10^2`이나 `10^3`을 나타낸다기 보단 나선과 연꽃을 나타내는 이집트 말이 각각 백과 천을 말하..
Ptolemy's theorem
수학이야기/기하벡터 2010. 9. 30. 08:51
원에 내접하는 사각형을 다루는 문제를 풀 때 많이 쓰는 프톨레미의 정리를 증명한다. 정리 원에 내접하는 사각형에서 마주보는 두 변 길이를 곱해서 더하면 대각선 길이를 곱한 것과 같다. 그림에서 `ac+bd=ef`이다. 증명 그림과 같이 `\Delta ABD`를 `A`를 중심으로 `\angle DAC` 만큼 회전한 삼각형을 `\Delta AB'D'`라고 하고 `\overline {AB}'`와`\overline {BC}`가 만나는 점을 `E`라고 하자. `\angle ACB= \angle ADB = \angle AD'B'` `\Delta AEC`와 `\Delta AB'D'`는 닮음이다. `\overline {AC}:\overline {AD}'=\overline {EC}:\overline{B'D'}` `d:e..

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