수학과 사는 이야기

학교에서 처음 만나는 무리수로 원주율 $\pi$를 꼽을 수 있지만 본격적으로 무리수를 배우는 단원에서 처음 만나는 무리수는 $\sqrt 2$이다. 고대 문명에서도 마찬가지였을 것이다. 피타고라스 학파는 무리수인 $\sqrt2$가 존재한다는 사실을 비밀에 부치기도 했다고 전해진다. 비밀을 바깥으로 알린 히파수스(Hippasus of Metapontum)를 벌했다는 이야기도 있다. $\sqrt2$가 무리수임을 밝히는 증명은 여러 가지가 있다. 가장 널리 알려진 유클리드의 증명은 이미 올렸으니 이글은 조금 덜 알려진 증명으로 시작하자. 기하적 증명 $\triangle ABC$는 직각 이등변삼각형이라고 하자. 피타고라스 정리에 따라 $$m=\sqrt{n^2+n^2}=n\sqrt2$$ $$\therefore \s..

무리수는 순환하지 않는 무한소수이다. 무한소수임을 보이는 것도 쉽지 않은데 순환하지 않음까지 보여야 한다. 따라서 어떤 수가 무리수임을 증명하기는 어렵다. $\pi$는 가장 처음 만나는 무리수이다. 당연히 $\pi$ 무리수라고 알고 있지만 증명을 하는 사람은 많지 않다. 고등학교 수준으로 증명을 이해할 수 있을 것 같아서 적는다. 먼저 $\pi^2$이 무리수임을 보이는 증명이다. 1794년 라그랑제(Joseph Louis Lagrange)가 증명했다. 증명 $\pi^2$가 유리수라고 가정하자. $\mathbb{Z}$는 정수 전체의 집합 $\displaystyle{\pi^2=\frac{p}{q}\quad (p,q \in \mathbb{Z},\;\;q\not=0)}$라고 놓을 수 있다. $\displayst..