수학과 사는 이야기

정리 급수 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}b_n}$은 급수 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}a_n}$을 재배열한 급수라고 하자. $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}a_n}$이 절대수렴이면 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}b_n}$도 절대수렴이고 아래와 같이 극한값이 같다. $$\sum_{n=1}^{\infty}a_n=\sum_{n=1}^{\infty}b_n$$ 두 급수는 극한값이 같음을 증명하였다. 아래와 같이 재배열한 급수도 절대수렴임을 보이면 된다. 이 정리에 따라 절대수렴인 수열은 마음대로 재배열하여 극한값을 구할 수 있다. https://en.wikipedia.org/wiki/Riem..

무한급수가 수렴하는가 판정하는 방법에 대한 공부도 이제 막바지다. 일일이 타이핑하기가 너무 힘들어 필기를 그대로 올려두지만 글씨는 맘에 들지 않는다. 아이패드에 쓰는 글씨는 좀처럼 늘지 않는다. 1. Absolute Convergent Test 2. Ratio Test 3. Root Test

무한급수(infinity series)의 값은 부분합의 극한값으로 정의된다. $$\sum_{n=1}^{\infty}{a_n} = \lim_{n \rightarrow \infty}S_{n}$$ 무한급수의 값은 덧셈을 무한히 하는 것이 아니라 부분합으로 이루어진 수열 `S_n`의 극한값이라는 것을 꼭 알아두어야겠다. 잘못하면 아래 이야기와 같이 생각할 수도 있기 때문이다. `1+(-1)+1+(-1)+ \cdots+(-1)^{n-1} + \cdots` 다시 말하면 $$\sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n-1}}$$은 얼마인가라는 물음에 어떤 사람은 `{1+(-1)}+{1+(-1)}+ \cdots+(-1)^{n-1} + \cdots =0+0+\cdots=0`이라고 하고 `1+{(-1)+1}+{(-1..