수학과 사는 이야기

서로 외접하는 원이 있을 때 바깥에 있는 원이 안쪽에 있는 원과 접하면서 구른다고 하자. 이 때 바깥 원 위에 있는 한 정점이 그리는 자취가 에피사이클로이드 곡선이다. 두 원의 반지름을 각각 $R$, $r$이라 하자. 이 곡선은 두 원의 반지름이 이루는 비 $k$ $(R=kr)$에 따라 아래와 같은 모양이 된다. 이제 방정식을 구해보자. $$l_R=R\theta=r\alpha=l_r$$ $$\alpha=\frac{R\theta}{r}$$ 점 $P$의 좌표 $(x(\theta),y(\theta))$는 아래와 같이 매개변수를 써서 나타낼 수 있다. $$x(\theta)= (R+r)\cos\theta-r\cos(\theta+\alpha) = (R+r)\cos\theta-r\cos\bigg(\frac{R+r}{..

17세기 변분법(calculus of variation) 문제가 있다. 수직으로 세워진 평면 위에 두 점이 있다. 어떤 물체가 어느 한 점에서 나머지 다른 점까지 움직인다고 하자. 이 운동은 오로지 질량에만 의존한다고 가정할 때, 가장 짧은 시간에 다른 점에 이를 수 있는 곡선을 찾아라. 위 문제는 다음을 가정한다. 중력 가속도는 크기와 방향이 정해져 있고 물체는 질량만 있으며 마찰이나 관성 모멘트는 무시한다. 또한 에너지가 추가되거나 사라지지 않는다. 베르누이가 매우 영리한 분석으로 정답은 사이클로이드임을 증명하고 다른 수학자들에게 문제로 냈는데 뉴턴, 라이프니츠, 로피탈이 성공했다고 한다. 특히 뉴턴은 단 하루 만에 해결했다고 하니 수준이 다른 사람이다. 파스칼은 사이클로이드 공부하다가 치통을 잊었다..

아스트로이드(astroid)는 별 모양으로 생긴 곡선이다. 이 별 모양 곡선은 1691~92년에 요한 베르누이(Johann Bernoulli)가 처음으로 제시하였다. 1715년 라이프니츠의 서신에도 나타난다. 이것은 4개의 뾰족점을 가지고 있어서 때때로 사첨체라고 불린다. 아스트로이드라는 이름은 1836년에 비엔나에서 출판된 책에 등장한다. 아스트로이드는 1836년 이후에도 입방사이클로이드(cubocycloid)와 파라사이클(paracycle)을 포함하여 문헌에서 다양한 이름으로 알려졌다. 아스트로이드를 그리는 여러 가지 방법 원에 내접하는 원을 굴려서 그리기 반지름이 $1$인 원 안에 반지름이 $\displaystyle{\frac{1}{4}}$인 원이 내접하고 있다고 하자. 아래와 같이 내접하는 원을 ..

어떤 곡선은 $y=f(x)$의 꼴로 나타낼 수 없다. 이럴 때 점의 좌표를 시간의 함수로 보아 $x=f(t),\;\;y=g(t)$의 꼴로 나타낸다. $$x=f(t),\;\;y=g(t)$$ 이것이 매개변수 방정식이다. 이때 변수 $t$를 매개변수로 부른다. 매개변수를 소거하여 쉽게 그래프를 그릴 수 있는 경우도 많다. 하지만 대체로 매개변수 방정식으로 표현된 곡선의 그래프를 그리는 일은 쉽지 않다. 먼저 쉬운 경우를 살펴보자. $$x=t^2 -2t,\;\;y=t+1$$ 아래 표와 같이 매개변수에 따른 $x,y$ 값을 조사하여 그릴 수 있다. $t$ $x$ $y$ $-2$ $ 8$ $-1$ $-1$ $ 3$ $0$ $ 0$ $0$ $1$ $1$ $-1$ $ 2$ $2$ $0$ $ 3$ $3$ $3$ $4$ ..

하이포사이클로이드는 사이클로이드에서 한발 더 나간 곡선이다. 두 원이 있을 때 작은 원이 큰 원에 내접하면서 구른다고 하자. 이때 작은 원 위에 있는 한 정점이 그리는 자취가 하이포사이클로이드(hypocycloid)이다. 자취를 식으로 나타내 보자. 두 원의 반지름이 각각 $R,r(R>r)$이라고 하자. 작은 원이 큰 원에 접하면서 $\alpha$ 회전했을 때, 작은 원 중심은 큰 원의 중심을 중심으로 $\theta$ 회전했다고 하자. 원 위의 점은 $P(x(\theta),y(\theta))$라고 하고 시작은 $x(0)=R, y(0)=0$이라고 하자. $$r\alpha=R\theta$$ 이제 작은 원 중심 $A$를 지나고 $x$축과 평행한 직선과 $\overline{AP}$가 이루는 각을 $\phi$라고..