수학과 사는 이야기

유리수도 실수와 마찬가지로 체(field)이므로 차례(ordering property)와 대수(algebraic property) 성질을 가지고 있다. 이 꼭지에서는 유리수와 구별되는 실수의 완비성(The Completeness Property of R)에 대하여 정리해 보자. 완비는 빈틈이 전혀 없이 꽉 채워진 것을 뜻한다. 정리 $x^2 =2$인 유리수는 존재하지 않는다. 증명 방정식 $x^2 =2$의 근이 유리수라고 하자. 서로소인 두 정수 $p$와 $q$에 대하여 $\displaystyle{\bigg(\frac{p}{q}\bigg)^2 =2}$이다. $p^2 =2q^2$이므로 $p$는 짝수이다. 그러므로 $q$는 반드시 홀수라야 한다. 하지만 $p=2m$으로 놓으면 $(2m)^2 =4m^2 =2q..

이 꼭지는 고등학교 수학에서 다루는 극한을 더욱 엄밀하게 다루고 싶은 이들을 위해 적는다. 극한을 제대로 다루기 위해서는 먼저 실수에 대한 엄밀한 해석이 필요하다. 여기서는 실수가 가진 차례 성질을 다음에는 완비성(completeness)를 다루고자 한다. 실수도 자연수와 마찬가지로 차례가 정해져 있다. 실수의 차례 성질(The Oder Properties of $\mathbb{R}$) 공집합이 아닌 실수의 부분집합 $P\subset \mathbb{R}$이 아래를 모두 만족하면 엄격한 양의 실수(strictly positive real number)라고 부른다. 증명없이 참으로 인정하는 최소한의 것이 성질이다. 공리와 같은 뜻으로 받아들이자.1) $a,b \in P\Rightarrow a+b\in P$2..