수학과 사는 이야기

옛날 어느 왕국에 채 열 살도 되기 전에 유클리드 기하학 원론을 깨우친 아이가 있었다. 소문을 들은 왕은 아이를 불러 시험해 보기로 하였다. "길이가 12인 밧줄로 둘러쌀 수 있는 가장 큰 도형을 만들어 보아라." 답을 알고 있는가? 증명은 어렵지만 중학교 학생들도 알고 있는 문제다. 둘레의 길이가 일정하다면 넓이가 가장 넓은 도형은 원이다. 마찬가지로 겉넓이가 일정하다면 구형에 가까운 도형일수록 부피가 크다. 이런 수학 원리를 이용하여 구면을 삼각형으로 나눈 형태로 기둥도 없이 내부 공간을 크게 만든 건축물이 있다. 지오데식 돔이 바로 그것이다. 미국 건축가 버크민스터 풀러가 처음 디자인하였다. 지오데식 돔을 이용하여 구의 겉넓이를 구해보자. 구의 겉넓이와 부피를 구하는 일은 미적분을 배웠다면 아주 간..

정이십면체를 깎아서 만든 축구공이 있다. 1970년 멕시코 월드컵에서 쓴 아디다스가 만든 공 '텔스타'이다. 요즘은 월드컵에서 쓰는 공이 달라졌지만 아직도 같은 모양으로 만든 공이 많이 쓰인다. 자세한 이야기는 '축구공과 수학'에서 볼 수 있다. 아무튼 만들어진 모양을 이미 알고 있으므로 전개도는 쉽게 그릴 줄 알았다. 정육각형 20개와 정오각형 12개를 배치하면 된다. 처음에 아래와 같이 대충 오각형을 둘러싼 육각형을 그리고 다시 오각형 둘을 덧붙인 그림을 4장 뽑았다. 오려서 붙이다 보니 아뿔싸 실패다. 오각형의 위치가 애매하다. 역시 세상에 쉬운 일은 없다. 정이십면체 전개도를 참고해서 다시 만들었다. 워낙 면이 많아서 풀칠하는 곳을 따로 만들지는 않았다. 사실 어디에 만들어야 하는가 잘 모르겠다...

수업 시간에 쓰려고 정다면체 전개도를 찾다가 그냥 '알지오 매스'로 만들어 보았다. 풀칠하는 곳을 정해주는 일이 생각보다 귀찮다. 필요한 사람은 누구나 가져다 쓰기 바란다. 짬이 나면 축구공 전개도를 그려볼 참이다.^^ 정다면체 이야기 자세히 보기 https://www.algeomath.kr/algeomath/app/key/c1eec47b4c0411ecb517f220cd50c085/view.do 정다면체 전개도 | Algeomath 정다면체 전개도 | Algeomath, 알지오매스, 도형학습용 소프트웨어 기하, 공통, 입체도형의 성질, , 도형 www.algeomath.kr 수업시간에 아이들이 정다면체를 만들었다. 축구공도 만들었다.

밑넓이와 높이가 같은 기둥과 뿔은 부피의 비가 $3:1$이다. 중학교 1학년 때 배우는 이 사실이 참임을 보이려고 한다. 요즘은 주로 뿔 모양의 입체에 모래나 물을 담아 기둥 모양의 입체에 옮기는 것으로 증명을 대신한다. 수학은 엄밀함이 생명인데 대상이 중학생이라 하더라도 많이 아쉽다. 입체 도형 가운데 부피를 직관적으로 구할 수 있는 도형은 기둥이다. 초등학교에서 배운 직육면체의 부피를 생각하면 아주 쉽다. 직육면체 부피$=$밑넓이$\times$높이 밑넓이가 $A$이고 높이가 $h$인 기둥의 부피 $V_1$는 $$V_1=A \times h.$$ 평면도형과 마찬가지로 도형은 삼각형이 기본이다. 모든 다각형을 자르면 삼각형으로 나눌 수 있으므로 $n$각기둥은 삼각기둥 $n-2$개로 나눌 수 있다. 입체도형..

시곗바늘이 이루는 각을 구하는 문제는 아주 오래전에 중학교 학생들을 괴롭혔던 문제다. 요즘은 교과서에서 자취를 감추었지만 고난도 문제를 다루는 문제집에서는 간혹 볼 수 있다. 창의력 문제로도 제시되기도 한다. 모든 수학 문제와 마찬가지로 원리를 알면 아주 쉬운 문제다. 옛날 사람이라면 추억이 방울방울 돋아날 문제를 풀어보자. 예제: 현재 시각 10시 9분 30초이다. 시침과 분침이 이루는 각의 크기를 구하여라. 풀이. 원리는 간단하다. 시침과 분침이 움직이는 각속도를 알면 된다. 1. 일단 눈금이 이루는 중심각을 기억하자. 시간은 원을 12등분, 분은 60등분 한 눈금이 매겨져 있다. 따라서, 시간을 나타내는 숫자는 $30^{\circ}$, 분을 나타내는 눈금은 $6^{\circ}$를 이루고 있다. 2...