이항급수 Binomial Series
수학이야기/Calculus 2020. 7. 27. 19:49x=0에서 함수 f(x)=(1+x)m로 테일러 급수를 생성해 보자. m은 상수이다.
f(x)=(1+x)mf′(x)=m(1+x)m−1f′′(x)=m(m−1)(1+x)m−2f′′′(x)=m(m−1)(m−2)(1+x)m−3⋮f(k)(x)=m(m−1)(m−2)⋯(m−k+1)(1+x)m−k
f(x)=1+mx+m(m−1)2!x2+m(m−1)(m−2)3!x3+⋯+m(m−1)(m−2)⋯(m−k+1)k!xk+⋯
(1)은 |x|<1에 대하여 절대수렴하는 급수인데 다른 이름으로 이항급수(binomial series)라고 부른다.
m이 0이상인 정수이면 k=m+1일 때 분자가 0이 되므로 (m+1)개 항에서 끝난다. 이것은 고교 과정에서 배우는 이항정리와 같다.
m이 0이나 양의 정수가 아니라면 무한급수가 된다. xk를 포함한 항을 uk라고 놓고 비 판정(ratio test)으로 수렴 구간을 찾으면 |x|<1임을 알 수 있다.
||uk+1uk|=|m−kk+1x|→|x|ask→∞
(1)이 (1+x)m으로 수렴한다는 증명은 따로 살펴보기로 하자.
이항급수 binomial series
−1<x<1일 때,
(1+x)m=1+∞∑k=1(mk)xk
(m1)=m,(m2)=m(m−1)2!,(mk)=m(m−1)(m−2)⋯(m−k+1)k!(k≥3)
테일러 급수는 간단한 함수를 훨씬 복잡하게 나타낸 것처럼 보이지만 다항함수로 바꾼 것이라 미분과 적분이 매우 쉽다는 장점이 있다. 기본이 아닌 적분을 계산할 때 테일러 급수를 쓰면 근삿값을 쉽게? 계산할 수 있다.
예제 ∫10sinx2dx를 계산해 보자.
sinx를 테일러 급수로 적고 x2을 합성하고 항별로 적분하여 값을 구하면 된다.
sinx=x−x33!+x55!−x77!+⋯
sinx2=x2−x63!+x105!−x147!+⋯
∫10sinx2dx=13−17⋅3!+111⋅5!−115⋅7!+⋯
예제 tan−1x의 테일러 급수로 π의 근삿값 구하기
먼저
ddxtan−1x=11+x2=1−x2+x4−x6+⋯
tan−1x=x−x33+x55−x77+⋯+(−1)nx2n+12n+1+⋯
양변에 x=1을 대입하면 라이프니츠 공식(Leibniz's formula for π)을 얻는다.
π4=1−13+15−17+⋯+(−1)n2n+1+⋯
이 공식은 느리게 수렴하는데 더 빠르게 하려면 0에 더 가까운 x값을 대입하면 된다.
예를 들면
α=tan−112,β=tan−113
이면
tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=1/2+1/31−1/6=1=tanπ4
이므로 π4=tan−112+tan−113이다.
따라서 x=1/2와 x=1/3을 대입한 급수를 더해서 4를 곱하면 π의 근삿값을 구할 수 있다.
세상에서 가장 아름다운 정리인 오일러 정리도 테일러 급수로 쉽게 보일 수 있다.
ex=1+x1!+x22!+x33!+x44!+x55!+x66!+x77!+⋯
x=iθ를 대입하자.
eiθ=1+iθ1!+i2θ22!+i3θ33!+i4θ44!+i5θ55!+i6θ66!+i7θ77!+⋯=(1−θ22!+θ44!−θ66!+⋯)+i(θ−θ33!+θ55!−θ77!+⋯)=cosθ+isinθ
아래 이어진 글을 참고하면 아주 구하기 어려운 타원적분도 계산할 수 있다.
단진자 운동 주기 간단치 않네
사이이클로이드를 따라 진동하는 호이겐스 진자의 주기를 계산하고 나니 단진자 운동도 계산해 보고 싶어진다. 원 운동이니 간단할 줄 알고 시작했는데 웬 걸 상당히 복잡하다. 결국은 제1종 타
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