이항급수 Binomial Series

$x=0$에서 함수 $f(x)=(1+x)^m$로 테일러 급수를 생성해 보자. $m$은 상수이다.

$$\begin{array}{rl}f(x)& =(1+x{)}^m\\ f^{\prime }(x)& =m(1+x{)}^{m-1}\\ f^{\prime \prime }(x)& =m(m-1)(1+x{)}^{m-2}\\ f^{\prime \prime \prime }(x)& =m(m-1)(m-2)(1+x{)}^{m-3}\\ & ⋮\\ f^{(k)}(x)& =m(m-1)(m-2)\cdots (m-k+1)(1+x{)}^{m-k}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \begin{array}{rl}f(x)=& 1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}{x}^2+\frac{m(m-1)(m-2)}{3!}{x}^3+\\ & \cdots +\frac{m(m-1)(m-2)\cdots (m-k+1)}{k!}{x}^k+\cdots \end{array}\end{array}$$

(1)은 $|x|<1$에 대하여 절대수렴하는 급수인데 다른 이름으로 이항급수(binomial series)라고 부른다.

$m$이 0이상인 정수이면 $k=m+1$일 때 분자가 0이 되므로 $(m+1)$개 항에서 끝난다. 이것은 고교 과정에서 배우는 이항정리와 같다.

$m$이 0이나 양의 정수가 아니라면 무한급수가 된다. $x^k$를 포함한 항을 $u_k$라고 놓고 비 판정(ratio test)으로 수렴 구간을 찾으면 $|x|<1$임을 알 수 있다.

|$$|\frac{u_{k+1}}{u_k}|=|\frac{m-k}{k+1}x|\to |x|ask\to \mathrm{\infty }$$

(1)이 $(1+x)^m$으로 수렴한다는 증명은 따로 살펴보기로 하자.

이항급수 binomial series

$-1<x<1$일 때,

$$(1+x{)}^m=1+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\begin{array}{c}m\\ k\end{array}\right)x^k$$

$$\begin{array}{rl}\left(\begin{array}{c}m\\ 1\end{array}\right)& =m,\\ \left(\begin{array}{c}m\\ 2\end{array}\right)& =\frac{m(m-1)}{2!},\\ \left(\begin{array}{c}m\\ k\end{array}\right)& =\frac{m(m-1)(m-2)\cdots (m-k+1)}{k!}(k\ge 3)\end{array}$$

테일러 급수는 간단한 함수를 훨씬 복잡하게 나타낸 것처럼 보이지만 다항함수로 바꾼 것이라 미분과 적분이 매우 쉽다는 장점이 있다. 기본이 아닌 적분을 계산할 때 테일러 급수를 쓰면 근삿값을 쉽게? 계산할 수 있다. 

예제 $\int_{0}^{1} \sin x^2 dx$를 계산해 보자.

$\sin x$를 테일러 급수로 적고 $x^2$을 합성하고 항별로 적분하여 값을 구하면 된다.

$$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$$

$$\sin x^2=x^2-\frac{x^6}{3!}+\frac{x^{10}}{5!}-\frac{x^{14}}{7!}+\cdots$$

$${\int }_0^1\sin x^{2}dx=\frac{1}{3}-\frac{1}{7\cdot 3!}+\frac{1}{11\cdot 5!}-\frac{1}{15\cdot 7!}+\cdots$$

 

예제 $\tan^{-1}x$의 테일러 급수로 $\pi$의 근삿값 구하기

먼저 

$$\frac{d}{dx}{\tan }^{-1}x=\frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+\cdots$$

$${\tan }^{-1}x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots +(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+\cdots$$

양변에 $x=1$을 대입하면 라이프니츠 공식(Leibniz's formula for $\pi$)을 얻는다.

$$\frac{\pi }{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots +\frac{(-1{)}^n}{2n+1}+\cdots$$

이 공식은 느리게 수렴하는데 더 빠르게 하려면 0에 더 가까운 $x$값을 대입하면 된다.

예를 들면

$$\alpha ={\tan }^{-1}\frac{1}{2},\beta ={\tan }^{-1}\frac{1}{3}$$

이면

$$\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }=\frac{1/2+1/3}{1-1/6}=1=\tan \frac{\pi }{4}$$

이므로 $\displaystyle{\frac{\pi}{4}=\tan^{-1}\frac{1}{2}+\tan^{-1}\frac{1}{3}}$이다.

따라서 $x=1/2$와 $x=1/3$을 대입한 급수를 더해서 4를 곱하면 $\pi$의 근삿값을 구할 수 있다.

 

세상에서 가장 아름다운 정리인 오일러 정리도 테일러 급수로 쉽게 보일 수 있다.

$$e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^6}{6!}+\frac{x^7}{7!}+\cdots$$

$x=i\theta$를 대입하자.

$$\begin{array}{rl}{e}^{i\theta }& =1+\frac{i\theta }{1!}+\frac{i^2{\theta }^2}{2!}+\frac{i^3{\theta }^3}{3!}+\frac{i^4{\theta }^4}{4!}+\frac{i^5{\theta }^5}{5!}+\frac{i^6{\theta }^6}{6!}+\frac{i^7{\theta }^7}{7!}+\cdots \\ & =(1-\frac{{\theta }^2}{2!}+\frac{{\theta }^4}{4!}-\frac{{\theta }^6}{6!}+\cdots )+i(\theta -\frac{{\theta }^3}{3!}+\frac{{\theta }^5}{5!}-\frac{{\theta }^7}{7!}+\cdots )\\ & =\cos \theta +i\sin \theta \end{array}$$

아래 이어진 글을 참고하면 아주 구하기 어려운 타원적분도 계산할 수 있다.

https://suhak.tistory.com/856

단진자 운동 주기 간단치 않네