대수기하학이 뭘까?

필즈상을 받은 허준이 교수는 대수기하학(代數幾何學)으로 많은 난제를 해결했다고 한다. 수학을 가르치는 교사이지만 아쉽게도 대학에서 대수기하학을 배우지 못했다. '수학교육과'는 수학과 함께 교육학도 배워야 하기에 수학 쪽 전공과목은 '수학과'보다 개수가 적다. 대수학으로 기하학을 연구하는 과목이지 않을까 짐작하고 있다. 혹시 질문을 하는 학생이 있을 수 있으므로 검색해 본다. 영어로 algebraic geometry으로 쓰고 있으니 짐작이 맞는 모양이다. 배우지도 못한 과목을 설명하기는 좀 그렇고 대수와 기하를 따로 정리하려고 한다.

대수학

아주 쉽게 말하면 대수학은 방정식을 푸는 분야다. 수학 교과서에다. 수학하면 바로 근의 공식이 떠오르지 않는가? 대부분 중학교에서 배운 이차방정식의 근의 공식까지만 알고 있을 것이다. 3차와 4차방정식도 근의 공식이 있다. 5차방정식도 근을 구하는 공식은 없다. 이런 걸 알아내는 분야가 바로 대수학이다.

대수학은 영어로 Algebra이다. 영어지만 아랍풍이 느껴지지 않는가? 페르시아 사람인 '알-콰리즈미(780?~850?)'가 쓴 수학책(Ilm al-jabr wa l-muqābala)이 유럽으로 전해지면서 대수학이 크게 발전했다. 청나라 수학자 이선란이 문자로 숫자를 대신하는 것에 착안하여 대수(代數)로 옮겼다.

알콰리즈미는 수학뿐만 아니라 천문학과 지리학에도 뛰어난 학자였다고 한다. 요즘 엄청나게 많이 쓰고 있는 알고리즘(Algorithm)은 알콰리즈미를 라틴어로 옮긴 알고리스무스(Algorismus)에서 유래한 말이다.

 알콰리즈미는 방정식을 풀 때 동류항을 묶어 계산하는 과정을 '알-자브르(al-jabr)'로 불렀다고 한다. 그는 이차방정식을 여섯 가지로 분류하고 풀이법을 책에 밝혔다.

• 제곱은 근과 같다 (ax2 = bx)
• 제곱은 숫자와 같다 (ax2 = c)
• 근은 숫자와 같다 (bx = c)
• 제곱과 근의 합은 숫자와 같다 (ax2 + bx = c)
• 제곱과 숫자의 합은 근과 같다 (ax2 + c = bx)
• 근과 숫자의 합은 제곱과 같다 (bx +c = ax2)

물론 고대 중국의 수학책인 '구장산술'에도 대수방정식이 실려 있다. 어쨌든 간단한 방정식을 풀던 대수학은 선형대수를 거쳐 추상대수로 발전하였다. 군, 환, 체와 같은 수학의 구조를 파악하는 일도 모두 대수학에서 다룬다. 중고등학교에서 결합법칙, 교환법칙, 분배법칙과 같은 걸 배운 기억이 난다면 수학을 꽤 열심히 공부한 사람이 분명하다. 덧셈과 곱셈에 대한 항등원과 역원까지 생각나면 대수학 공부에 필요한 기본기가 탄탄한 사람이다.

기하학

기하학하면 바로 유클리드(에우클레이데스)가 떠오른다. 유클리드가 쓴 '원론(Elements)'는 논문을 쓰는 표본을 보여주고 있다. 유클리드 원론은 성경보다 널리 읽힌 책이라고 하면 자신은 읽은 적이 없다며 놀라는 이들이 있다. 우리나라에 유클리드 원론을 처음부터 끝까지 모두 읽은 사람은 드물어도 전혀 읽지 않은 성인은 거의 없다. 중학교 수학 교과서는 상당 부분이 유클리드 원론에 나오는 내용과 같기 때문이다. 점, 선, 면, 평행선, 정삼각형, 이등변삼각형, 정사각형과 같은 말들은 모두 유클리드 원론에서 시작한다.

유럽 언어의 geometry, géométrie 등은 라틴어 geometria에서 왔으며, 더 거슬러 올라가면 고대 그리스어 γεωμετρία에서 유래한 말이다. 이는 땅을 뜻하는 그리스어 단어 γε(게)와 측정하다를 뜻하는 그리스어 단어 μετρία(메트리아)를 합하여 만든 말이다.

‘기하(幾何)’는 ‘(길이·넓이 등이) 얼마인가?’를 뜻하는 말로, 구장 산술(3세기) 등 중국의 수학책에서 ‘밭의 넓이가 얼마인가(為田幾何)’ 같은 표현으로 쓰였고 이는 명나라 때의 수학책까지 계속되었다. 1607년 명나라의 서광계가 마테오 리치와 함께 크리스토퍼 클라비우스(독일어판)가 편집한 '에우클레이데스의 원론' 라틴어판을 번역하면서 제목을 《기하원본(幾何原本)》이라 붙였다.이 번역본에서 ‘기하’라는 낱말은 라틴어의 geometria가 아니라 ‘크기’ , ‘양’을 뜻하는 단어 magnitudo의 번역어로 쓰였다.  위키백과에서

인류 문명은 대수와 기하를 바탕으로 발전하였다. 아래 그림은 국립중앙박물관에 있는 복희와 여와를 그린 그림이다. 복희와 여와는 중국의 천지창조 신화 속에 나오는 신이다. 왼쪽이 여신인 여와고 오른쪽은 남신이 복희다. 그런데 여와는 컴퍼스를 복희는 직각자를 들고 있다. 컴퍼스는 한자로'규(規)'인데 규칙(規則)은 바로 컴퍼스에서 나왔다. 중국인들은 작도로 세상 모든 규칙을 만들었다고 믿었다.

 

기하를 공부해 본 사람은 안다. 재미 있지만 어렵다. 특히, 유클리드처럼 기하를 엄밀하게 증명하는 일은 매우 어렵다. 데카르트도 '원론'을 공부하는 일이 쉽지 않았던 모양이다. 그는 진리에 이르는 새로운 길을 찾았다. 우리에게 대수와 기하를 한꺼번에 다룰 수 있는 강력한 도구를 남겨주었다. 데카르트가 선물한 좌표축으로 대수방정식을 그림으로 다룰 수 있게 되면서 해석기하학이 탄생한다.

수학은 때로는 작은 부분으로 갈라졌다가 완전히 달라 보이던 것이 서로 융합하여 새로운 분야가 개척되는 과정을 되풀이하고 있다. 분열과 통일을 반복해 온 우리 역사처럼 말이다. 허준이 교수는 대수기하학으로 조합론의 난제를 풀어냈다고 하니 통일의 대업을 이룬 위인인 셈이다.

대수기하학에 관한 자세한 이야기는 아래 글을 참고하자.

대수기하학 전반을 간략하게 기술하기란 그리 쉬운 일은 아니 다. 그러나 대다수의 대수기하학자들은 전통적으로 대수기하학 을 다항식들의 공통근 연구를 목적으로 가환대수를 비롯한 여러 가지 대수학적 방법론과 기하의 언어를 결합한 학문이라 는 데는 의견을 일치한다. 그래서 대수기하학은 수학 전 분야를 크게 대수학, 해석학, 기하위상수학, 응용수학 등으로 나눌 때 대수학과 기하위상수학이 만나는 분야라 할 수 있겠다.  http://www.kias.re.kr/etc_img/bbs_file/KN_2008_37/KN_2008_37_12.pdf

https://m.dongascience.com/news.php?idx=55153 

[김영훈 교수가 설명하는 허준이 교수 업적] 허준이, 조합 대수기하학의 새 장을 열다