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직각삼각형의 합동조건::::수학과 사는 이야기

직각삼각형의 합동조건

수학이야기/중학수학2 2022. 10. 5. 13:04
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중학교 1학년에서 삼각형의 합동 조건 세 가지를 배워서 알고 있을 것이다.

두 삼각형이 아래에 있는 조건 하나를 만족하면 서로 합동이다. (변: Side 각: Angle)

1. 세 변의 길이가 각각 서로 같다. (SSS 합동)

2. 두 변의 길이와 사이에 끼인 각의 크기가 서로 같다. (SAS  합동)

3. 두 각의 크기와 한 변의 길이가 서로 같다. (ASA 합동)

너무도 당연해서 증명도 간단하지만 원래 간단한 것을 보이기가 더 쉽지 않다. 유클리드 원론에선 어떻게 증명했는지 궁금하면 아래를 참고하자. 

https://suhak.tistory.com/704

 

원론 1권_명제4 두 삼각형이 서로 합동이 되려면

중학교 1학년 수학에서 가장 중요한 것을 꼽으라면 삼각형을 들고 싶다. 유클리드 '원론'에 정삼각형을 작도하는 것이 가장 먼저 나온다. 그만큼 중요하다. 과학고 입시 면접을 하면서 가끔 묻는

suhak.tistory.com

 

중학교 2학년에서 직각삼각형의 합동 조건이 나온다. 이 또한 1학년 때와 마찬가지로 단순하게 외우기만 하는 학생이 많은데 이제 2학년은 조금씩 증명하는 연습을 해야 하므로 교과서에 나오는 증명을 눈여겨보기 바란다. 그래야 앞으로 만나는 어려운 기하학에 쉽게 다가설 수 있다.

먼저, 용어를 정리해 보자.

직각삼각형은 내각 가운데 직각이 있는 삼각형이다. 직각은 Right angle이다. 직각의 대변을 빗변이라고 한다. 빗변은 Hypotenuse이다. Hypotenuse는 라틴어에서 온 말이다.

직각삼각형의 합동 조건

직각삼각형은 이미 한 각의 크기가 정해진 삼각형이므로 위에 있는 조건보다 더 쉽게 합동임을 확인할 수 있다.

(1) 두 직각삼각형이 빗변의 길이가 같고 한 예각의 크기가 같으면 서로 합동이다. 

¯AC=¯DF이고 A=D라고 하자.

직각은 서로 같으므로 한 예각의 크기가 같으면 나머지 다른 예각도 서로 크기가 같다. 

C=F

ABC=DEF

(2) 두 직각삼각형이 빗변의 길이가 같고 다른 한 변의 길이가 같으면 서로 합동이다. 

 

¯AC=¯DF이고 ¯BC=¯EF라고 하자.

(1)보다는 단계가 더해 진다.

오른쪽 삼각형을 뒤집어서 그림과 같이 두 변 ¯BC¯EF를 포개면 일치한다.

이때, BE 모두 직각이므로 세 점 A,B(E),D는 일직선을 이룬다.

이렇게 만들어진 삼각형 ADC¯AC=¯DF인 이등변삼각형이므로 두 밑각은 서로 크기가 같다.

A=D

(1)에 따라서

ABC=DEF

 

이제 직각(R)삼각형은 빗변의 길이(H)와 한 예각의 크기(A)나 다른 한 변의 길이(S)를 확인하여 합동임을 쉽게 알 수 있다. 두 조건을 간단하게 (1) RHA 합동, (2) RHS 합동으로 부른다.

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