평행사변형의 성질

평행사변형은 그림과 같이 평행한 두 쌍의 직선이 교차할 때 만들어지는 사각형이다. 다시 정리하면 평행사변형은 두 쌍의 대변이 평행인 사각형이다. 따라서 사각형 $ABCD$가 평행사변형이라면 아래는 저절로 보장된다고 할 수 있다.

$$\overline{AB}//\overline{CD},\;\;\overline{AD}//\overline{BC}\tag{1}$$

어떤 사각형이 평행사변형인지 아닌지 구분하려면 어떻게 해야 할까? 다른 글에서 두 직선이 평행임을 밝히려면 만나지 않는 것을 보이는 것이 아니라 엇각이나 동위각이 같음을 확인해야 한다. 두 직선이 또 다른 한 직선과 만날 때, 두 직선이 평행이면 엇각이 서로 같고 서로 엇각이 같으면 두 직선은 평행하다.

나중에 배우는 말로 두 직선이 평행하다는 조건과 엇각이 서로 같다는 조건은 서로 동치 관계이다. 동위각이 서로 같다는 조건도 마찬가지고 같은 쪽에 있는 각의 크기를 더하면 $180^{\circ}$라는 조건도 마찬가지다.

평행사변형이 가지고 있는 성질을 더 많이 안다면 더 쉽게 문제를 해결할 수 있다. 그래서 수학책에는 계속해서 같은 말을 반복하여 새로운 정리를 만들어가는 과정이 실려 있다. 실제로 수학의 본질은 한 명제에서 출발하여 수많은 새로운 명제를 만들어가는 과정에 있다. 그런데 그 지루한 과정을 즐기지 못하고 결과만 외워서 문제를 푸는 데에만 힘을 쏟고 있는 학생이 대부분이라 매우 안타깝다. 조금 힘들더라도 증명 과정을 꼼꼼하게 살펴서 진짜 수학 공부를 한다면 창의력을 기를 수 있어서 멋 훗날 큰 도움이 될 것이다. 

준비가 되었다면 이제 (1)과 같은 말을 만들어 보기로 하자.

$\overline{AB}//\overline{CD}$이므로 $\angle BAC=\angle DCA$

$\overline{AD}//\overline{BC}$이므로 $\angle BCA=\angle DAC$

$\overline{AC}$는 공통이므로 

$$\triangle ABC \equiv \triangle CDA\tag{ASA}$$

$$\overline{AB}=\overline{CD},\;\;\overline{AD}=\overline{BC}\tag{2}$$

역으로 (2)가 된다면 (1)이 됨을 보이자.

두 삼각형 $\triangle ABC$와 $\triangle CDA$는 세 변의 길이가 각각 서로 같으므로 합동이다.

$$\triangle ABC \equiv \triangle CDA\tag{SSS}$$

따라서 엇각이 같음을 확인하여 두 쌍의 대변이 평행임을 알 수 있다.

$\angle BAC=\angle DCA$이므로 $\overline{AB}//\overline{CD}$

$\angle BCA=\angle DAC$이므로 $\overline{AD}//\overline{BC}$

$\blacksquare$

이제 두 쌍의 대변이 평행하다는 말과 두 쌍의 대변의 길이가 같다는 말은 완전히 같음을 보였다. (1)=(2).

아래에 있는 다섯 문장은 모두 같은 말임을 차례로 증명해서 성공한다면 당신은 이미 재밌는 기하학의 세계로 들어선 것이다.

1. 두 쌍의 대변이 각각 평행하다.
2. 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다.
3. 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다.
4. 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분한다.
5. 한 쌍의 대변의 평행하고 그 길이가 같다.

평행사변형이면 두 쌍의 대각의 크기가 같음은 쉽게 보일 수 있으니 생략한다.

아래와 같이 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다고 하자.

$$\angle A=\angle C, \;\;\angle B= \angle D\tag{3}$$

사각형의 내각을 모두 더하면 360도이다.

$$\angle A+\angle B+\angle C+ \angle D=360^{\circ}$$

$$2(\angle A+\angle B)=360^{\circ}$$

$$\angle A+\angle B=180^{\circ}$$

직선 $BC$ 연장선 위에 점 $E$를 잡으면

$$\angle A+\angle B=180^{\circ}=\angle ABE +\angle B$$

$$\angle A=\angle ABE $$

$$\therefore \quad \overline{AD}//\overline{BC}$$

마찬가지 방법으로

$\overline{AB}//\overline{CD}$임을 보일 수 있다.

$\blacksquare$

(3)이면 (1)임을 보였다.