가우스 적분(Gaussian integral)

정규분포를 나타내는 확률밀도함수(Probability density function)는 아래와 같다.

$$f(x)= \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}    \quad\quad (-\infty<x<\infty)$$

이 분포는 평균이 $\mu$이고 분산은 $\sigma^2$이다. 기호로는 $N(\mu, \sigma^2)$로 적는다.

정규분포를 따르는 확률변수를 표준화하면 평균이 $0$이고 분산이 $1$인 정규분포를 이룬다.

$$X \sim N(\mu, \sigma^2)$$

$$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$$

$$Z \sim  N(0,1)$$

확률밀도함수는

$$\Phi(z)= \frac{1}{\sqrt{2\pi} }e^{-\frac{1}{2}z^2}\quad\quad (-\infty<z<\infty)\tag{1}$$

이를 표준정규분포라고 하는데 이를 따르는 확률변수는 정규분포표를 보고 확률을 구할 수 있다.

여기서 (1)은 확률밀도함수이므로 정의역 전체에서 적분한 값은 $1$이라야 한다.

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi} }e^{-\frac{1}{2}z^2} dz=1$$

고등학교 교육과정에서는 굳이 알 필요없지만 이런 적분을 계산하는 방법이 궁금하다.

$x=z/\sqrt{2}$라고 치환하여 다시 정리하면

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{\pi} }e^{-x^2} dx=1$$

가우스 적분(Gaussian integral)

$$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2} dx=\sqrt{\pi}\tag{2}$$

(2)는 오일러-포아송 적분으로도 알려진 가우스 적분이다. 적분하는 함수 $f(x) = e^{-x^{2}}$는 가우스 함수라고 부르는데 당연히 카를 프리드리히 가우스의 이름을 딴 것이다. 아브라함 드 므아브르는 1733년에 처음으로 이런 유형의 적분을 찾았고 가우스가 1809년에 정확한 적분을 발표했다.

이 적분을 구하는 여러 방법 가운데 두 가지를 간단하게 소개한다.

극좌표를 이용한 방법

상당히 간단한 함수처럼 보이지만 $f(x)=e^{-x^2}$은 부정적분을 간단하게 찾을 수 없다. 먼저 아래와 같이 이중적분으로 바꿀 수 있음을 이용한다.

$$\left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx\right)^2 = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2}\,dy = \int_{-\infty}^{\infty}  \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\left(x^2+y^2\right)}\, dx\,dy.$$

먼저 $\displaystyle{I(a)= \int_{-a}^{a}e^{-x^{2}}dx}$라고 하면 $\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2} dx=\lim_{a\rightarrow \infty}I(a)$이다.

\begin{align}
I(a)^2 & = \left ( \int_{-a}^a e^{-x^2}\, dx \right ) \left ( \int_{-a}^a e^{-y^2}\, dy \right ) \\[6pt]
& = \int_{-a}^a \left ( \int_{-a}^a e^{-y^2}\, dy \right )\,e^{-x^2}\, dx \\[6pt]
& = \int_{-a}^a \int_{-a}^a e^{-\left(x^2+y^2\right)}\,dy\,dx.
\end{align}

푸비니 정리로 나타내면

$$\iint_{[-a, a] \times [-a, a]} e^{-\left(x^2+y^2\right)}\,d(x,y)$$이다. 극좌표로 바꾸자.

\begin{align}x & = r \cos \theta \\y & = r \sin\theta\end{align}

자코비안을 구하면 아래와 같다.

$$\mathbf J(r, \theta) = \begin{bmatrix}  \dfrac{\partial x}{\partial r} & \dfrac{\partial x}{\partial\theta}\\[1em]  \dfrac{\partial y}{\partial r} & \dfrac{\partial y}{\partial\theta} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}  \cos\theta & - r\sin \theta \\  \sin\theta &   r\cos \theta\end{bmatrix}$$따라서

$$d(x,y) = |J(r, \theta)|d(r,\theta) = r\, d(r,\theta)$$

네 꼭짓점이 $(−a, a), (a, a), (a, −a), (−a, −a)$인 정사각형에 내접하는 원은 반지름의 길이가 $a$이고 외접하는 원은 반지름의 길이가 $\sqrt{2} a$이다. 따라서 아래와 같은 부등식이 성립한다.

$$\int_0^{2\pi} \int_0^a re^{-r^2} \, dr \, d\theta < I^2(a) < \int_0^{2\pi} \int_0^{a\sqrt{2}} re^{-r^2} \, dr\, d\theta\tag{3}$$

이제 부정적분을 찾을 수 있는 꼴이 되었다.

\begin{split}\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{a} re^{-r^2} \, dr \, d\theta &= \int_{0}^{2\pi} \left[-\frac{1}{2}e^{-r^2}\right]_{0}^{a}\, d\theta \\&=\int_{0}^{2\pi} \left[-\frac{1}{2}e^{-a^2}+\frac{1}{2} \right]\, d\theta \\ &= 2\pi \left(-\frac{1}{2}e^{-a^2}+\frac{1}{2} \right)\\&=\pi\left(1-e^{-a^2}\right)\end{split}

(3)을 정리하면

$$\pi(1-e^{-a^2})< I^2(a) < \pi(1-e^{-2a^2})$$

스퀴즈 정리에 따라 $\lim_{a\rightarrow\infty}I^2(a)=\pi$이다.

$$\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\, dx = \sqrt{\pi}$$

$\blacksquare$

라플라스가 구한 방법

$f(x)=f(-x)$이므로 짝수함수이다.

$$I=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}dx=2\int_{0}^{\infty}e^{-x^{2}}dx$$

\begin{align}
y & = xs \\
dy & = x\,ds.
\end{align}

\begin{align}
I^2 &= 4 \int_0^\infty \int_0^\infty e^{-\left(x^2 + y^2\right)} dy\,dx \\[6pt]
&= 4 \int_0^\infty \left( \int_0^\infty e^{-\left(x^2 + y^2\right)} \, dy \right) \, dx \\[6pt]
&= 4 \int_0^\infty \left( \int_0^\infty e^{-x^2\left(1+s^2\right)} x\,ds \right) \, dx \\[6pt]
\end{align}

푸비니 정리에 따라 적분변수를 바꾸자.

\begin{align}
I^2 &= 4 \int_0^\infty \left( \int_0^\infty e^{-x^2\left(1 + s^2\right)} x \, dx \right) \, ds  \\[6pt]
&= 4 \int_0^\infty \left[ \frac{e^{-x^2\left(1+s^2\right)} }{-2 \left(1+s^2\right)} \right]_{x=0}^{x=\infty} \, ds \\[6pt]
&= 4 \left (\frac{1}{2} \int_0^\infty \frac{ds}{1+s^2} \right) \\[6pt]
&= 2 \arctan(s)\Big |_0^\infty \\[6pt]
&= \pi.
\end{align}

$\blacksquare$