함수식 톺아보기

중학교 3학년이면 배우지 않았어도 미분과 적분이란 말은 한 번쯤은 들어보았을 것이다. 거칠게 이야기하면 미분과 적분은 고정되지 않고 변하는 것을 연구한다. 변하는 것을 연구하려면 반드시 함수를 알아야 한다. 고등학교에서 여러 가지 함수를 배우지만 중학교에선 1차 함수와 2차 함수 단 두 가지만 배운다.

1차와 2차 함수는 정확하게 이해하면 아주 간단하게 다룰 수 있지만 처음 만나면 이에겐 그렇게 쉽지만은 않다. 요즘 교과과정을 처음 만나는 곳은 학원인 학생이 많다. 사교육이 복습에 치중했으면 좋겠는데 대부분 선수학습에 매진한다. 그런데 처음 만나는 개념을 제대로 잡지 않고 바로 문제만 푸는 학생이 많아서 걱정이다. 수업 시간에 나름대로 자세하게 설명해 보려고 하지만 대체로 반응은 시큰둥하다. 왜냐하면 제대로 이해하지 않아도 문제는 잘 풀리기 때문이다. 중학교 수학 문제가 어려워 봐야 거기서 거기다. 또한 이해 없이 그냥 외우기만 해도 대부분의 문제는 쉽게 해결할 수 있다.

이 글은 함수를 자세하고 꼼꼼하게 파해쳐 보고 싶은 학생을 위해 쓴다.

참고하면 좋은 글: 함수를 나타내는 방법에 대한 생각

함수를 나타내는 방법에 대한 생각

두 변수 $x,y$에 대하여 변수 $x$의 값이 변함에 따라 $y$의 값이 하나씩 정해지는 관계가 있을 때, $y$를 $x$의 함수라고 한다.
중학교에서 함수의 정의

중고등학교에선 일변수 함수만 다룬다. 그냥 $y=f(x)$인 꼴만 다룬다고 생각하자.

함수를 나타내는 함수식을 보자.

$$y=f(x)$$

이차함수는 (1), (2)와 같이 적으면 혼동이 덜 할 듯한데 중학교에선 대부분 (3), (4)처럼 쓴다.

$$f(x)=x^2\tag{1}$$

$$g(x)=a x^2\tag{2}$$

$$y=x^2\tag{3}$$

$$y=ax^2\tag{4}$$

모든 단원이 그렇듯이 함수도 간단한 걸 먼저 다루고 점점 복잡하게 만들면 된다. 따라서 가장 간단한 $y=x^2$이 어떻게 변해가는가를 살펴보면 끝이다.  

함수 $y=4x^2$을 보자. 함수 $y=x^2$과 비교했을 때 4는 $x$에 곱한 것일까? $y$에 곱한 것일까? 눈치 빠른 학생은 아주 쉽게 이해할 수 있다. 

$4y=4x^2$라고 적으면 (3)과 같은 식이다. 하지만 함수 $y=4x^2$는 다른 식이다. 따라서 같은 문자로 $y$로 적었지만 당연히 다르다고 생각해야 하는데 이것을 느끼지 못하는 학생이 많다.

아래 그림은 $y$의 값이 달라지는 것을 보여주고 있다. 그래프에 있는 점을 위로 끌어올렸기 때문에 포물선의 폭이 좁아진다고 생각해야 한다.  $x$의 값은 그대로 두고 $y$의 값에만 4를 곱하는 것이다.

함수식만 보고 이해가 어렵다면 적당한 수나 문자를 함수식에 넣어서 작용을 시켜보면 된다. 

$$y=x^2$$	$$y=4x^2$$
$$(1,1)$$	$$(1,4\times1)$$
$$(2,4)$$	$$(2,\\4\times4)$$
$$(-1,1)$$	$$(-1,4\times1)$$
$$\left(\frac{1}{2},\frac{1}{4}\right)$$	$$\left(\frac{1}{2},4\times\frac{1}{4}\right)$$
$$(x, x^2)$$	$$(x,4\times x^2)$$

물론 넓은 포물선을 밀어서 좁게 만들었다고 이해할 수도 있다. 하지만 이렇게 이해하려면 $y=(2x)^2$으로 고등학교에서 배우는 합성함수를 생각해야 쉽게 이해할 수 있다.

$$x\rightarrow 2x\rightarrow (2x)^2$$

$x$ 양수라고 가정하면 2배로 빨리 커진다는 의미다. 따라서 같은 $y$값에 더 빠르게 도달한다. 위의 그림을 보면 $y$축과 포물선 사이의 거리가 1/2이 되고 있음을 볼 수 있다. 그런데 중학생이 이렇게 이해하기는 쉽지 않다. 따라서 중학생은 함숫값이 어떻게 달라지는가를 비교하는 것이 좋다.

이제 아래 그림을 보면 뭔가 쉽게 다가오는 것이 있을 것이다. 기울기가 $a$인 직선과 비교하면 좋다.

 

이차함수 $y=ax^2$의 그래프는 $a>0$이면 아래로 볼록하고, $a<0$이면 위로 볼록하다.

$a$의 절댓값이 클수록 그래프의 폭이 좁아진다. ($y$축 방향으로 점을 움직이기 때문에 좁아진다고 생각하자.)

$y=ax^2$의 그래프와 $y=-ax^2$의 그래프는 $x$축에 대칭이다.

이차함수 $y=ax^2$의 그래프와 같은 모양의 곡선을 포물선이라고 한다. 포물선은 선대칭도형이고, 그 대칭축을 포물선의 축이라고 하며, 포물선과 축의 교점을 포물선의 꼭짓점이라고 한다. 이차함수 $y=ax^2$의 그래프는 $y$축을 축으로 하고, 원점을 꼭짓점으로 하는 포물선이다.

https://www.algeomath.kr/algeomath/app/key/604108d2118e11eea2b4f220ef6cc976/view.do

이차함수의 그래프 | Algeomath