푸리에 변환을 향해::::수학과 사는 이야기

혹시 주역을 아는가? 몰라도 상관없다. 꽃이 피면 반드시 지고 달이 차면 기운다. 만나면 헤어지고 헤어지면 언젠가 만나는 것이 세상 이치다. 이처럼 세상 모든 것에는 주기가 있다. 수학자 퓨리에는 모든 함수를 주기 함수로 나타낼 수 있다고 생각했다.

아래와 같이 주기함수를 더하는 일은 비교적 쉽다. 하지만 파란 그래프만 보고 아래에 있는 주기함수를 거꾸로 찾아내는 일은 매우 어렵다. 물감을 섞는 일은 아주 쉽지만 뒤섞인 물감을 색깔별로 분리하는 일은 거의 불가능하다. 이 어려운 일을 할 수 있게 돕는 것이 바로 퓨리에 변환이다.

수십 년 전에 대학 다닐 때는 별로 눈에 들어오지 않더니 오십이 훌쩍 넘은 이 나이에 갑자기 이런 것들이 궁금해진다. 그 시절에 열심히 공부했으면 인생이 달라졌으려나! 아무튼 하다 만 수학 공부가 아쉬워질 줄은 몰랐다.

다행스럽게 요즘은 이런 걸 배우러 굳이 대학까지 가지 않아도 된다. 친절하게 가르쳐 주는 자료가 차고 넘친다. 이 글은 누굴 가르치는 자료가 아니라 홀로 공부하는 과정을 기록한 것으로 보면 된다.

푸리에 급수

푸리에 급수는 주기 함수를 삼각 함수의 합으로 확장한 것이다 . 푸리에 급수는 삼각함수로 만든 급수이지만 모든 삼각함수로 만든 급수가 푸리에 급수인 것은 아니다. 삼각 함수는 다루기 쉽기 때문에 함수를 사인과 코사인의 합으로 표현하면 함수와 관련된 많은 문제를 분석하기가 더 쉬워진다.

예를 들어 푸리에 급수는 푸리에가 열방정식의 해를 찾기 위해 처음 사용했다. 이러한 응용은 삼각함수의 도함수가 단순한 패턴에 속하기 때문에 가능하다. 푸리에 급수는 대부분의 함수의 푸리에 급수에 무한히 많은 항이 있고 급수가 항상 수렴하지 않기 때문에 임의의 함수를 근사하는 데 사용할 수 없다.

예를 들어 부드러운 함수와 같이 잘 작동하는 함수에는 원래 함수로 수렴하는 푸리에 급수가 있다. 푸리에 급수의 계수는 아래 푸리에 급수의 공통 형식에 설명된 삼각 함수로 곱한 함수의 적분에 의해 결정된다. 푸리에 급수의 수렴에 대한 연구는 부분합의 동작에 중점을 둔다. 즉, 급수에서 점점 더 많은 항이 합산됨에 따라 합의 동작을 연구하는 것을 의미한다.

푸리에 급수의 계수는 아래와 같이 적분으로 정의한다.

$$\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}&={\frac {1}{P}}\int _{-P/2}^{P/2}s(x)\,dx\\A_{n}&={\frac {2}{P}}\int _{-P/2}^{P/2}s(x)\cos \left({\frac {2\pi nx}{P}}\right)\,dx\qquad {\text{for }}n\geq 1\qquad \\B_{n}&={\frac {2}{P}}\int _{-P/2}^{P/2}s(x)\sin \left({\frac {2\pi nx}{P}}\right)\,dx\qquad {\text{for }}n\geq 1\end{aligned}}$$

푸리에 급수는 아래와 같다.

$$s(x)\sim A_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(A_{n}\cos \left({\frac {2\pi nx}{P}}\right)+B_{n}\sin \left({\frac {2\pi nx}{P}}\right)\right)\tag{1}$$

보기

아래는 그림과 같이 그래프가 톱니 모양인 함수이다.
$$s(x) = \frac{x}{\pi}, \quad \mathrm{for } -\pi < x < \pi$$

$$s(x + 2\pi k) = s(x), \quad \mathrm{for } -\pi < x < \pi \text{ 그리고 } k \in \mathbb{Z}.$$

푸리에 급수의 계수는 아래와 같이 결정된다.

\begin{align} A_n & = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}s(x) \cos(nx)\,dx = 0, \quad n \ge 0. \\[4pt] B_n & = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}s(x) \sin(nx)\, dx\\[4pt] &= -\frac{2}{\pi n}\cos(n\pi) + \frac{2}{\pi^2 n^2}\sin(n\pi)\\[4pt] &= \frac{2\,(-1)^{n+1}}{\pi n}, \quad n \ge 1.\end{align}

함수 $s$가 미분가능한 모든 점 $x$에서 푸리에 급수는 $s(x)$로 수렴한다.

\begin{align}s(x) &= A_0 + \sum_{n=1}^\infty \left(A_n\cos\left(nx\right)+B_n\sin\left(nx\right)\right) \\[4pt]
&=\frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin(nx), \quad \mathrm{for} \quad x - \pi \notin 2 \pi \mathbb{Z}. \end{align}

$x$가 $\pi$에 홀수를 곱한 수일 때, 푸리에 급수는 $x=\pi$에서 s의 왼쪽과 오른쪽 극한의 절반의 합인 0으로 수렴한다. 위 보기는 바젤 문제의 해결책을 만든다.

https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_series

Fourier series - Wikipedia

en.wikipedia.org