삼각함수의 극한

다음에 주어진 극한값을 구해보자. $$\lim_{\theta \rightarrow 0}\frac{\sin\theta}{\theta}$$

풀이)) 먼저  $\theta \rightarrow +0$일 때를 생각하자.

그림에서

$$\sin\theta <\theta<\tan\theta$$

이다. 이를 정리하면

$$1<\frac{\theta}{\sin\theta}<\frac{1}{\cos\theta}$$

$$\cos \theta< \frac {\sin\theta}{\theta} <1$$

$\displaystyle{\lim_{\theta \rightarrow  +0} \cos \theta=1}$이므로

$$\lim_{\theta \rightarrow +0}\frac{\sin\theta}{\theta}=1$$

$-\theta=t$라고 하면

$$\lim_{\theta \rightarrow -0} \frac{\sin\theta}{\theta}=\lim_{t\rightarrow+0}\frac{\sin (-t)}{-t}=\lim_{t\rightarrow +0}\frac{\sin t}{t}=1$$

$$\therefore \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin\theta}{\theta}=1$$

삼각함수의 극한값은 $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1}$ 을 활용하여 구한다.

예제) 극한값 $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos x-1}{x}}$을 구하여라.

풀이) $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos x-1}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(\cos x-1)(\cos x+1)}{x(\cos x +1)}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos^2 x-1}{x(\cos x +1)}}$

$\displaystyle{=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{-\sin^2 x}{x(\cos x +1)}=-\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}\cdot \frac{\sin x}{\cos x +1}=-\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}\cdot \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{\cos x +1}=-1\cdot \frac{0}{1+1}=0}$

문제 다음 극한값을 구하여라.

1) $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin 2x}{\sin x}}$

2) $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\tan }{x}}$

3) $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x^2}{x}}$

4) $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow \infty}x\sin \frac{1}{x}}$

 

다른 초월함수 지수, 로그함수의 극한은 여기로 http://suhak.tistory.com/284