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여러 가지 평균의 작도::::수학과 사는 이야기

여러 가지 평균의 작도

수학이야기/기하벡터 2014. 5. 12. 10:47
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 ¯AC=a,¯BC=b라고 하면 a+b는 쉽게 작도할 수 있다.

이제 수직이등분선을 작도하여 a+b2를 반지름으로 하는 원을 그린다.

C에서 ¯AB에 수직인 직선을 작도하여 원과 만나는 점 P를 찾는다.

 

APCPBC

이제 닮음비로 길이를 찾아보면

¯AC:¯CP=¯CP:¯CB

¯CP=ab

가로와 세로가 a,b인 직사각형과 넓이가 같은 정사각형의 한 변의 길이는 ab이다. 따라서 ¯CP를 작도할 수 있다는 것으로부터 직사각형과 넓이가 같은 정사각형을 작도할 수 있음을 알 수 있다. 이런 뜻에서 ab를 기하평균으로 부른다.

이제 점 C에서 ¯OP에 수선을 작도하고 수선의 발을 H라고 하자.

마찬가지로 닮음비로 길이를 찾아보면

POCPCH

¯PO:¯CP=¯CP:¯PH

¯PH=2aba+b

이로써 산술평균, 기하평균, 조화평균을 모두 작도하였다.

자연스럽게 아래 부등식이 성립함을 증명하였다.

2aba+baba+b2

등호는 a=b일 때 성립한다.

역수가 등차수열이 되는 수열을 조화수열이라고 한다. a,x,b가 조화수열이면 1a,1x,1b은 등차수열이 된다. 1x1a=1b1x

x=2aba+b조화중항인 x를 조화평균으로 부른다. 

아래와 그림에서 a,b,c 사이 관계를 찾아 보자.

 

더보기

¯AC=x,¯CB=y라고 하면

bx=c(x+y),ay=c(x+y)

y=bxa

bx=c(x+bxa)

b=c(1+ba)

c=aba+b

아래 그림에서도 ca,b의 조화평균임을 알 수 있다.

AD//CE,CF//BD

OA:AC=OD:CD=OB:CB

a:ca=b:bc

bcab=abac

c=2aba+b

한편, 조화평균, 기하평균, 산술평균은 등비수열을 이름을 쉽게 확인할 수 있다.

부등식

21a+1baba+b2

는 일반화가 가능하다.

일반적으로 nN,n2와 양수 a1,a2,,an에 대하여 아래 부등식은 항상 성립한다.

n1a1+1a2++1anna1a2ana1+a2++ann

(단, 등호는 a1=a2==an일 때, 성립한다.) 젠센부등식으로 증명

n=4일 때 양의 정수 a,b,c,d에 대하여 다음이 성립함을 보여라.

41a+1b+1c+1d4abcda+b+c+d4

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