여러 가지 평균의 작도
수학이야기/기하벡터 2014. 5. 12. 10:47¯AC=a,¯BC=b라고 하면 a+b는 쉽게 작도할 수 있다.
이제 수직이등분선을 작도하여 a+b2를 반지름으로 하는 원을 그린다.
점 C에서 ¯AB에 수직인 직선을 작도하여 원과 만나는 점 P를 찾는다.
△APC∼△PBC
이제 닮음비로 길이를 찾아보면
¯AC:¯CP=¯CP:¯CB
∴¯CP=√ab
가로와 세로가 a,b인 직사각형과 넓이가 같은 정사각형의 한 변의 길이는 √ab이다. 따라서 ¯CP를 작도할 수 있다는 것으로부터 직사각형과 넓이가 같은 정사각형을 작도할 수 있음을 알 수 있다. 이런 뜻에서 √ab를 기하평균으로 부른다.
이제 점 C에서 ¯OP에 수선을 작도하고 수선의 발을 H라고 하자.
마찬가지로 닮음비로 길이를 찾아보면
△POC∼△PCH
¯PO:¯CP=¯CP:¯PH
∴¯PH=2aba+b
이로써 산술평균, 기하평균, 조화평균을 모두 작도하였다.
자연스럽게 아래 부등식이 성립함을 증명하였다.
등호는 a=b일 때 성립한다.
역수가 등차수열이 되는 수열을 조화수열이라고 한다. a,x,b가 조화수열이면 1a,1x,1b은 등차수열이 된다.
1x−1a=1b−1x
조화중항인 x를 조화평균으로 부른다. ∴x=2aba+b
아래와 그림에서 a,b,c 사이 관계를 찾아 보자.
¯AC=x,¯CB=y라고 하면
아래 그림에서도 c는 a,b의 조화평균임을 알 수 있다.
한편, 조화평균, 기하평균, 산술평균은 등비수열을 이름을 쉽게 확인할 수 있다.
부등식
는 일반화가 가능하다.
일반적으로 ∀n∈N,n≥2와 양수 a1,a2,⋯,an에 대하여 아래 부등식은 항상 성립한다.
n1a1+1a2+⋯+1an≤n√a1a2⋯an≤a1+a2+⋯+ann (단, 등호는 a1=a2=⋯=an일 때, 성립한다.) 젠센부등식으로 증명
n=4일 때 양의 정수 a,b,c,d에 대하여 다음이 성립함을 보여라.
수학이야기님의
글이 좋았다면 응원을 보내주세요!