Processing math: 100%
가우스 정17각형이 작도 가능함을 보이다::::수학과 사는 이야기

가우스 정17각형이 작도 가능함을 보이다

수학이야기/기하벡터 2015. 4. 1. 13:31
반응형

작도는 눈금 없는 자와 컴파스만으로 도형을 그리는 일이다. 그리스 수학에서 시작한 작도는 오랫동안 기하학의 기본이었다. 유클리드 '원론'은 작도로 증명하는 것과 마찬가지다. 간단한 증명을 보자.

원론 1권

명제 1 정삼각형을 그릴 수 있다.

 

명제 2 주어진 점에서 시작하여 주어진 선분과 같은 선분을 그릴 수 있다.  

명제 1에서 증명한 바에 따라 점 D를 작도하고 직선 DA, DC를 긋는다.

A를 중심으로 반지름 ¯AB인 원을 그려 점 F를 찾고 점 D를 중심으로 반지름 ¯DF인 원을 그린다.

 ¯AD=¯CD이므로 C를 중심으로 반지름 ¯CG인 원을 그리면 C에서 시작하는 주어진 선분과 길이가 같은 선분을 그릴 수 있다.

이 명제를 증명함으로써 컴파스로 길이를 옮길 수 있다고 보는 것이다.

정5각형은 아래와 같이 작도할 수 있다. 정오각형을 작도함으로써 정15각형도 작도할 수 있다. 정5각형은 흥미로운 사실을 많이 품고 있다. 여기에 정오각형에 얽힌 이야기를 적는다.

 

  1. 정오각형은 황금비(golden section)를 품고 있다.
  2.  아래 그림에서

     

    a:ba=b:a

    a2=b2ab

    (ba)2ba1=0 

    ba=1+52

  3. 한 변의 길이가 1일 때, 대각선의 길이는 1+52이므로 아래와 같이 작도할 수 있다.

  4. 외접원이 주어질 때는 아래와 같이 작도할 수 있다.


  5. 외접원 반지름을 1이라고 가정한다면 정오각형을 작도하는 일은 단위원 x2+y2=1 위에 한 점 (1,0)을 잡고 원주 위에 있는 나머지 꼭짓점의 좌표를 구하는 일과 같다.

    이것은 방정식 x5=1의 복소수 해를 구하는 것과 같다.

    (x1)(x4+x3+x2+x+1)=0이므로 x4+x3+x2+x+1=0의 해를 구하면 된다.

    이제,  x4+x3+x2+x+1=0의 해를 z라고 하자.

    z4+z3+z2+z+1=0에서

    z2+z+1+1z+1z2=0이다. 이를 정리하면

    (z+1z)2+(z+1z)1=0

    t=z+1z

    t2+t1=0이므로 t=1±52이다.

    z2tz+1=0에서 z=t±t242이다.

    한편, z=cosθ+isinθ로 놓으면 주어진 드므아브르 정리에 따라

    cos5θ+isin5θ=1

    5θ=2nπ에서 근은 θn=2nπ5,(n=0,1,2,3,4)임을 쉽게 알 수 있다.

    x좌표는 실수부만 생각하면 되므로

    cos2π5=cos8π5=1+54

    cos4π5=cos6π5=154이다.

  6. 일반적으로 정다각형의 작도 가능성에 대해 살펴보자.

  7. n각형을 작도하는 일은 방정식 xn1=0의 해를 구하는 일과 같다.

    이것은 cos2πn을 구하는 것과 같다.

    이제, 정3각형과 정4각형이 작도 가능이고 각을 이등분하는 것도 작도 가능이므로 정32n과 정42n각형은 작도 가능하다. (n=0,1,2,3,) 2π32π5=4π15이므로 정 15각형은 작도할 수 있다. 유클리드 '원론' 4권 명제16은 정15각형의 작도법이다.

    아래와 같은 정n각형은 작도 가능하다.

    3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96, 102, 120, 128, 136, 160, 170, 192, 204, 240, 255, 256, 257, 272...

    가우스는 19살에 정17각형이 작도 가능함을 보였고 5년 뒤엔 n이 홀수인 서로 다른 페르마 소수(Fn=22n+1곱으로 나타내어진다면 작도가능함을 밝혔다.

    이제 p=22n+1이라고 하자.

    x2n+11=0

    (x1)(x2n+x2n1++x+1)=0

    x2n+x2n1++x+1=0의 한 근을 ζ로 놓으면

    ζp1+ζp2+ζp3++ζ2+ζ+1=0 

    이식은 n 차례 치환하면 이차식으로 바꿀 수 있다.

    바꾸는 방법은 (n+1)km(modp),k,m=0,1,2,,p1을 만족하는 음이 아닌 정수 m을 찾아 ζm의 차례를 정하고 이 차례를 2n(n=1,2,3,,n)으로 나눈 나머지가 같은 것끼리 짝을 맺어 바꾼다.

    바꾸는 방법은 아래 17각형의 작도를 참고하자.

  8. 정12면체는 정오각형으로 이루어졌다. 정오각형을 제대로 배웠다면 정12면체 이면각의 코사인을 구할 수 있을 것이다.

***

수학노트에서 옮김.

1796년 열 아홉 살 난 가우스는 정17각형이 아래와 같이 작도 가능함을 대수적으로 증명하였다.

z16+z15++z+1=0의 풀이를 반복적인 2차방정식의 풀이로 바꿀 수 있는가의 문제

16차 방정식을 2차방정식 네번 푸는 문제로 바꾸는 것

이 아이디어를 좀더 간단한 예를 통해 이해하기 위해서는 정오각형 항목 중 꼭지점의 평면좌표를 참조

증명 ζ=e2πi17=cos2π17+isin2π17로 두자. 참고 세상에서 가장 아름다운 수식 

이 값을 대수적으로 구하는 것이 목표. 222=16이므로 두 차례 치환하면 이차식으로 바꿀 수 있다.

(31,32,33,34,35,37,38,39,310,311,312,313,314,315,316)(3,9,10,13,5,15,11,16,14,8,7,4,12,2,6,1)(mod17)

이 순서대로 2로 나눈 나머지에 따라서 분류

A0=ζ9+ζ13+ζ15+ζ16+ζ8+ζ4+ζ2+ζ1

A1=ζ3+ζ10+ζ5+ζ11+ζ14+ζ7+ζ12+ζ6

A0+A1=1,A0A1=4,A0>A1

A0=1+172,A1=1172

이번에는 4로 나눈 나머지에 따라서 분류

B0=ζ13+ζ16+ζ4+ζ1

B1=ζ3+ζ5+ζ14+ζ12

B2=ζ9+ζ15+ζ8+ζ2

B3=ζ10+ζ11+ζ7+ζ6

B0+B2=A0,B0B2=1,B0>0

B0=1+17+342174,B2=1+17342174

B1+B3=A1,B1B3=1,B1>0

B1=117+34+2174,B3=11734+2174

이번에는 8로 나눈 나머지에 따라서 분류

C0=ζ16+ζ1,C4=ζ13+ζ4,C0>C1

C0+C4=B0,C0C4=B1

C0=B0+B204B12=1+17+34217+68+12174170+38178

C4=B0B204B12

이제 마무리

ζ=C0+C0242

cos2π17=1+17+34217+68+12174170+381716

 

가능함은 가우스가 보였지만 1825년이 되어서야 Johannes Erchinger가 실제 작도법을 보일 수 있었다. 아래와 같은 또 다른 작도법은 Carlyle가 찾았다.

위키백과 정17각형 작도

위키백과 작도

construct.pdf


반응형

수학이야기님의
글이 좋았다면 응원을 보내주세요!