눈으로 푸는 미적분

마미콘으로 알려진 아르메니아 수학자(Mamikon Mnatsakanian)은 미적분 문제를 눈으로 풀었다. 꽤 어려운 문제를 아주 간단하게 풀어내는 방법을 '아하 솔루션' 또는 '말 없는 증명'으로 부른다.

마미콘 정리는 그림 위 왼쪽에 있는 넓이는 안쪽 곡선이 반원일 때, 접선이 쓸고 지나는 넓이를 더하면 위 오른쪽 곡선 내부 넓이와 같다는 것이다.

안쪽에 있는 원에 접하는 접선에서 일정한 길이의 선분이 쓸고 지나는 영역은 고리 모양이 된다. 고리 모양의 넓이를 구해보자. 안쪽에 있는 원에 접하는 접선은 바깥 원의 현이 된다. 모든 접점을 한 점에 모았다고 생각하면 반지름이 12인 원 넓이와 반지 모양의 넓이는 같음을 알 수 있다. 이 방법은 피타고라스 정리의 또 다른 증명이 된다.

반지름이 $r$인 원이 직선 위를 구른다. 원 위에 있는 점이 그리는 곡선은 사이클로이드이다. 아래 그림에서 곡선 위에 있는 부분은 원 내부가 쓸고 지난다. 따라서 사이클로이드 아래 넓이는 직사각형 넓이에서 원 넓이를 빼서 $2r\cdot 2\pi r-\pi r^2 =3\pi r^2$로 구할 수 있다.

MaimikonExt.pdf