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이차곡선의 접선이 가진 성질::::수학과 사는 이야기

이차곡선의 접선이 가진 성질

수학이야기/기하벡터 2011. 5. 4. 12:47
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1. 포물선

y2=4px

  • 초점에서 접점까지의 거리는 초점에서 접선이 포물선의 축과 만나는 점까지의 거리와 같다.
  • 포물선의 접선은 초점을F, 접점을 P, 접점에서 준선에 내린 수선의 발을 H라고 하면 FPH를 이등분한다.

위에 있는 그림에서 사각형 HPFT는 마름모이다.

결국 접선은 선분 HF의 수직이등분선이다. 이 사실을 이용하여 포물선을 작도할 수 있다. 참고 이차곡선의 포락선

  • 초점에서 접선에 내린 수선의 발은 꼭짓점에서의 접선 위에 있다.

  • 서로 수직인 접선의 교점은 포물선의 준선 위에 있다.

대수로 증명하기

포물선 y2=4px에 접하는 접선 기울기가 m이라 하자.

접선의 방정식을 y=mx+n이라고 하자.

(mx+n)2=4pxm2x2+2mnx+n2=4pxm2x2+2(mn2p)x+n2=0

D/4=(mn2p)2m2n2=2p(2mn2p)=0

n=pm

따라서 기울기 m인 접선 방정식은 

y=mx+pm

이다. 이와 수직인 접선의 방정식은 

y=1mxpm

이다. 교점을 구하면 x=p이다.

  • 포물선 위의 서로 다른 두 점 P1,P2를 잇는 직선이 초점을 지나면 P1,P2에서 그은 두 접선은 서로 수직으로 만난다.

2. 타원

b2x2+a2y2=a2b2

  • 초점이 F1,F2인 타원 위의 한 점 P에서의 접선에 수직이고 점 P를 지나는 직선은 F1PF2를 이등분한다.

증명

두 초점을 F1,F2이라 하자.

P를 지나는 직선에 대하여 점 F2와 대칭인 점을 F2이라 하자.

¯F2P=¯F2P이므로

직선 F1F2는 점 P를 지난다.

접선 위에 P가 아닌 다른 점을 P이라 하자.

¯F1P+¯PF2>¯F1F2이므로 타원 위에 있지 않다.

따라서 접선은 선분 F2F2의 수직이등분선이다.

P에서 접선에 수직인 직선은 직선 F2F2와 평행이므로 F1PF2를 이등분한다.

  • 초점에서 접선에 내린 수선의 발은 장축을 지름으로 하는 원 위에 있다.

증명

아래 그림에서

¯PF+¯PF=¯PF+¯PF=2a

¯OF=¯OF,¯FH=¯HF이므로

¯FF//¯OH

¯OH=a

마찬가지로 

¯OH=a

  • 두 초점에서 임의의 접선까지의 거리의 곱은 일정하고 단축의 길이의 반의 제곱과 같다.

증명

1. 대수적 증명

1) 접점이 꼭지점이면 당연하므로 생략.

2) 접점이 꼭지점이 아닐 때. 기울기 m인 접선은 y=mx±a2m2+b2

이때, 접선 mxy+a2m2+b2=0까지 두 초점 F(c,0),F(c,0)에서 이르는 거리를 구하면

각각 d=|mc+a2m2+b2|m2+1

d=|mc+a2m2+b2|m2+1

d×d=|m2c2+a2m2+b2|m2+1=b2

 

 

2. 기하적 증명

그림과 같이 ¯FH=d,¯FH=d라고 하자.

타원의 중심 O에서 접선에 내린 수선의 발을 M, ¯FH에 내린 수선의 발을 N이라고 하자.

¯OM=12(d+d)이고

¯FN=12(dd)이다.

¯OH=a임은 위 2)에서 보였다.

¯OF2=¯FN2+¯ON2이므로

¯OH2=¯ON2+¯NH2을 정리하여

¯OH2=¯OF2¯FN2+¯NH2

a2=a2b2(12(dd))2+(12(d+d))2

dd=b2 

  • 타원에 수직인 서로 다른 두 접선의 교점이 그리는 자취는 중심이 원점이고 반지름이 a2+b2인 원이다.

증명

기울기 m인 접선은 y=mx±a2m2+b2

두 접선이 P(s,t)에서 수직으로 만난다고 하자.

t=ms±a2m2+b2

tms=±a2m2+b2

(tms)2=a2m2+b2

(s2a2)m22stm+t2b2=0

1) s2a2=0이면 s=±a,t=±b

P(s,t)P(a,b),P(a,b),P(a,b),P(a,b) 넷 가운데 하나인데 모두 다 접선이 수직으로 만난다.

2) s2a20이면, 기울기 곱이 t2b2s2a2=1
s2+t2=a2+b2

위에 증명한 것을 활용하여 아래와 같이 기하적으로 증명할 수 있다.

장축과 단축의 길이가 각각 2a,2b인 타원에 서로 수직인 접선 넷을 생각하자. 

3. 쌍곡선

b2x2a2y2=a2b2

  • 초점이 F,F인 쌍곡선 위의 한 점 P에서의 접선은 FPF를 이등분한다.

증명

 

두 초점을 F(c,0),F(c,0)(c2=a2+b2)이라 하자.

P(x1,y1)라고 하면 b2x21a2y21=a2b2이고 접선의 방정식은 b2x1xa2y1y=a2b2이다. 한편, A(a2x1,0)이다.

(x1±c)2+y21=x21±2cx1+c2+y21=x21±2cx1+c2+(b2a2x21b2)

=1a2(c2x21±2a2cx1+a4)=1a2(cx1±a2)2(c2=a2+b2)

¯PF¯PF=(x1+c)2+y21(x1c)2+y21=|cx1+a2||cx1a2|=|c+a2x1||ca2x1|=¯AF¯AF

  • 초점에서 접선에 내린 수선의 발은 주축을 지름으로 하는 원 위에 있다.

증명

초점 F를 지나고 접선에 내린 수선의 발을 H라고 하고, 직선 FH가 직선 PF와 만나는 점을 C라 하자.

앞에서 접선은 FPF를 이등분함을 보였다.

따라서 ¯FH=¯HC이다.

주축의 중점을 O라고 하면 ¯FO=¯OF이다.

중점 연결 정리에 따라 직선 PF와 직선 OH는 평행이고

¯FC=2ׯOH

또한 ¯PF=¯PC이므로

¯FC=¯PF¯PC=¯PF¯PF

쌍곡선 정의에 따라 ¯FC는 길이가 일정하다.

따라서 ¯OH도 일정하고 주축 길이의 1/2과 같다.

그러므로 점 H는 주축을 지름으로 하는 원 위에 있다.

  • 접점은 접선과 두 점근선이 만나는 점을 이은 선분의 중점이다.

증명

T(x1,y1)에서 접선 방정식은b2x1xa2y1y=a2b2

점근선 y=±bax와 접선이 만나는 점은 아래와 같다.

P(a2bbx1+ay1,ab2bx1+ay1)

Q(a2bbx1ay1,ab2bx1ay1)

중점의 좌표는 M(a2b2x1b2x21a2y21,a2b2y1b2x21a2y21)

b2x21a2y21=a2b2이므로

M=T

  • 접선과 두 점근선으로 둘러싸인 삼각형의 넓이는 일정하다.

증명

위 증명에서 접선과 점근선이 만나는 점은

P(a2bbx1+ay1,ab2bx1+ay1)

Q(a2bbx1ay1,ab2bx1ay1)

OPQ=12|a2bbx1+ay1ab2bx1ay1ab2bx1+ay1a2bbx1ay1|

=12|2a3b3b2x21a2y21|

S=ab

  • 두 초점에서 임의의 접선까지 거리의 곱은 일정하다.

위에서 초점 F2에서 접선에 내린 수선의 발은 주축을 지름으로 하는 원 d 위에 있음을 보였다.

A를 지나고 직선 F1P와 평행인 직선이 원 d 와 만나는 점을 D라고 하자.

¯CF2//¯F1D

직선 F1D가 원 d와 만나는 점을 B라고 하자.

B는 점 F1에서 접선 위에 내린 수선의 발이다.

따라서 두 초점에서 접선에 내린 수선의 길이를 곱한 값은 F1에서 원 d에 그은 접선의 길이 T의 제곱과 같다.

T2=c2a2=b2

아래 그림은 원뿔 곡선이 가지고 있는 성질을 활용하며 만든 카세크레인 방식 망원경의 원리를 보여주는 그림이다. 카세크레인 방식으로 만들면 망원경의 경통 길이를 크게 줄일 수 있다.

증명 보러 가기(수능저격)

더 자세한 원뿔곡선 이야기

 

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