이차곡선의 접선이 가진 성질
수학이야기/기하벡터 2011. 5. 4. 12:47y2=4px
위에 있는 그림에서 사각형 HPFT는 마름모이다.
결국 접선은 선분 HF의 수직이등분선이다. 이 사실을 이용하여 포물선을 작도할 수 있다. 참고 이차곡선의 포락선
대수로 증명하기
포물선 y2=4px에 접하는 접선 기울기가 m이라 하자.
접선의 방정식을 y=mx+n이라고 하자.
(mx+n)2=4pxm2x2+2mnx+n2=4pxm2x2+2(mn−2p)x+n2=0
D/4=(mn−2p)2−m2n2=−2p(2mn−2p)=0
n=pm
따라서 기울기 m인 접선 방정식은
y=mx+pm
이다. 이와 수직인 접선의 방정식은
y=−1mx−pm
이다. 교점을 구하면 x=−p이다.
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b2x2+a2y2=a2b2
증명
두 초점을 F1,F2이라 하자.
점 P를 지나는 직선에 대하여 점 F2와 대칭인 점을 F′2이라 하자.
¯F2P=¯F′2P이므로
직선 F1F′2는 점 P를 지난다.
접선 위에 P가 아닌 다른 점을 P′이라 하자.
¯F1P′+¯P′F′2>¯F1F′2이므로 타원 위에 있지 않다.
따라서 접선은 선분 F2F′2의 수직이등분선이다.
점 P에서 접선에 수직인 직선은 직선 F2F′2와 평행이므로 ∠F1PF′2를 이등분한다.
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증명
아래 그림에서
¯PF′+¯PF=¯PF′+¯PF′′=2a
¯OF=¯OF′,¯F′′H=¯HF이므로
¯F′F′′//¯OH
¯OH=a
마찬가지로
¯OH′=a
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증명
1. 대수적 증명
1) 접점이 꼭지점이면 당연하므로 생략.
2) 접점이 꼭지점이 아닐 때. 기울기 m인 접선은 y=mx±√a2m2+b2
이때, 접선 mx−y+√a2m2+b2=0까지 두 초점 F′(−c,0),F(c,0)에서 이르는 거리를 구하면
각각 d′=|mc+√a2m2+b2|√m2+1
d=|−mc+√a2m2+b2|√m2+1
∴d′×d=|−m2c2+a2m2+b2|m2+1=b2
2. 기하적 증명
그림과 같이 ¯F′H′=d,¯FH=d′라고 하자.
타원의 중심 O에서 접선에 내린 수선의 발을 M, ¯FH에 내린 수선의 발을 N이라고 하자.
¯OM=12(d+d′)이고
¯FN=12(d−d′)이다.
¯OH=a임은 위 2)에서 보였다.
¯OF2=¯FN2+¯ON2이므로
¯OH2=¯ON2+¯NH2을 정리하여
¯OH2=¯OF2−¯FN2+¯NH2
a2=a2−b2−(12(d−d′))2+(12(d+d′))2
∴dd′=b2
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증명
기울기 m인 접선은 y=mx±√a2m2+b2
두 접선이 P(s,t)에서 수직으로 만난다고 하자.
t=ms±√a2m2+b2
t−ms=±√a2m2+b2
(t−ms)2=a2m2+b2
∴(s2−a2)m2−2stm+t2−b2=0
1) s2−a2=0이면 s=±a,t=±b
P(s,t)는 P(a,b),P(a,−b),P(−a,b),P(−a,−b) 넷 가운데 하나인데 모두 다 접선이 수직으로 만난다.
2) s2−a2≠0이면, 기울기 곱이 t2−b2s2−a2=−1
s2+t2=a2+b2
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위에 증명한 것을 활용하여 아래와 같이 기하적으로 증명할 수 있다.
장축과 단축의 길이가 각각 2a,2b인 타원에 서로 수직인 접선 넷을 생각하자.
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b2x2−a2y2=a2b2
증명
두 초점을 F′(−c,0),F(c,0)(c2=a2+b2)이라 하자.
P(x1,y1)라고 하면 b2x21−a2y21=a2b2이고 접선의 방정식은 b2x1x−a2y1y=a2b2이다. 한편, A(a2x1,0)이다.
(x1±c)2+y21=x21±2cx1+c2+y21=x21±2cx1+c2+(b2a2x21−b2)
=1a2(c2x21±2a2cx1+a4)=1a2(cx1±a2)2(∵c2=a2+b2)
¯PF′¯PF=√(x1+c)2+y21√(x1−c)2+y21=|cx1+a2||cx1−a2|=|c+a2x1||c−a2x1|=¯AF′¯AF
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증명
초점 F를 지나고 접선에 내린 수선의 발을 H라고 하고, 직선 FH가 직선 PF′와 만나는 점을 C라 하자.
앞에서 접선은 ∠F′PF를 이등분함을 보였다.
따라서 ¯FH=¯HC이다.
주축의 중점을 O라고 하면 ¯F′O=¯OF이다.
중점 연결 정리에 따라 직선 PF′와 직선 OH는 평행이고
¯F′C=2ׯOH
또한 ¯PF=¯PC이므로
¯F′C=¯PF′−¯PC=¯PF′−¯PF
쌍곡선 정의에 따라 ¯F′C는 길이가 일정하다.
따라서 ¯OH도 일정하고 주축 길이의 1/2과 같다.
그러므로 점 H는 주축을 지름으로 하는 원 위에 있다.
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증명
T(x1,y1)에서 접선 방정식은b2x1x−a2y1y=a2b2
점근선 y=±bax와 접선이 만나는 점은 아래와 같다.
P(a2bbx1+ay1,−ab2bx1+ay1)
Q(a2bbx1−ay1,ab2bx1−ay1)
중점의 좌표는 M(a2b2x1b2x21−a2y21,a2b2y1b2x21−a2y21)
b2x21−a2y21=a2b2이므로
∴M=T
증명
위 증명에서 접선과 점근선이 만나는 점은
P(a2bbx1+ay1,−ab2bx1+ay1)
Q(a2bbx1−ay1,ab2bx1−ay1)
△OPQ=12|a2bbx1+ay1ab2bx1−ay1−−ab2bx1+ay1a2bbx1−ay1|
=12|2a3b3b2x21−a2y21|
∴S=ab
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위에서 초점 F2에서 접선에 내린 수선의 발은 주축을 지름으로 하는 원 d 위에 있음을 보였다.
점 A를 지나고 직선 F1P와 평행인 직선이 원 d 와 만나는 점을 D라고 하자.
¯CF2//¯F1D
직선 F1D가 원 d와 만나는 점을 B라고 하자.
점 B는 점 F1에서 접선 위에 내린 수선의 발이다.
따라서 두 초점에서 접선에 내린 수선의 길이를 곱한 값은 F1에서 원 d에 그은 접선의 길이 T의 제곱과 같다.
T2=c2−a2=b2
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아래 그림은 원뿔 곡선이 가지고 있는 성질을 활용하며 만든 카세크레인 방식 망원경의 원리를 보여주는 그림이다. 카세크레인 방식으로 만들면 망원경의 경통 길이를 크게 줄일 수 있다.
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