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'수학이야기/Calculus' 카테고리의 글 목록 (8 Page)::::수학과 사는 이야기

수학이야기/Calculus

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벡터장(Vector field)
수학이야기/Calculus 2019. 11. 13. 10:11
중력이나 전기력은 주어진 점에서 방향(direction)과 크기(magnitude)를 가진다. 방향과 크기를 함께 나타내는 좋은 도구는 바로 벡터다. 정의역에 있는 점에 정해지는 힘을 벡터로 나타내면 벡터장(Vector field)이 만들어 진다. 유체나 기체가 들어 있는 공간이 있다면 주어진 점에서 유체나 기체의 속도가 정해진다. 3차원에서 일반적으로 벡터장은 아래와 같이 표현한다. 당연히 벡터장은 벡터 함수(vector-valued-function)이다. $$F(x,y,z)=M(x,y,z) \mathbf{i} + N(x,y,z) \mathbf{j} + P(x,y,z) \mathbf{k}$$ 성분 함수 $M,N,P$가 연속이면 벡터장 $F$도 연속이다. 성분 함수가 미분가능하면 벡터장도 미분가능하다. ..
선적분(line integral)
수학이야기/Calculus 2019. 11. 9. 10:13
이변수 함수 $z=f(x,y)$에서 $xy$평면에 있는 곡선 $C$를 따라 적분하는 그림이다. 그림처럼 곡선 위에 있는 점에서 함숫값이 양수라면 곡선 위의 점 $(x,y)$에 높이 $f(x,y)$인 기둥을 세운 것과 같다. 따라서 정적분 값은 기둥면의 넓이가 된다. 곡선을 적당한 분할 $P$로 나누었을 때, 기둥면 넓이를 리만합으로 나타내면 아래와 같다. $$S_n=\sum_{k=1}^{n}f(x_k, y_k)\Delta s_k$$ 곡선을 나타내는 매개변수 방정식이 $\mathbf{r}(t)=x(t)\mathbf{i}+y(t)\mathbf{j}$라고 한다면 정적분은 아래와 같이 계산하면 된다. $$\lim_{|P|\to 0}\sum_{k=1}^{n} f(x_k,y_k) \Delta s_k=\int_{a}..
변환과 자코비안 행렬
수학이야기/Calculus 2019. 11. 8. 08:43
변수가 하나인 함수를 적분할 때, 다른 변수로 바꿔서 적분하면 편할 때가 많다. 이것을 치환 적분이라 부른다. $$\int_{a}^{b}f(g(x))g^{\prime}(x)dx=\int_{g(a)}^{g(b)}f(u)du \quad\quad( u=g(x)\; \iff \;du=g^{\prime}(x)dx)$$ 보기 $$\begin{split}\int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2} d x &=\int_{0}^{\pi/2} \sqrt{1-\sin^2 \theta} \cos \theta d \theta \quad (x=\sin \theta\; \iff \;dx=\cos \theta d \theta) \\ &=\int_{0}^{\pi/2} \cos^2 \theta d \theta =\int_{0}^{\p..
오일러 감마 함수(Euler's Gamma Function)와 정규분포
수학이야기/Calculus 2019. 11. 6. 08:29
정의 $\forall k>0$에 대하여 감마 함수는 아래와 같이 주어진 함수다. $$\Gamma(k)=\int_{0}^{\infty}t^{k-1}e^{-t}dt$$ 오일러가 찾아낸 감마 함수는 미분방정식이나 통계에서 여러 가지 쓸모가 있다. 이 함수는 해석적인 복소함수이지만 복잡함을 피하기 위해 $k$를 실수라 생각하기로 하자. 먼저 부분적분으로 감마 함수가 가진 성질을 알아 보자. 정리 $$\Gamma(k+1)=k \Gamma(k)\tag{1}$$ 증명$$\begin{split} \Gamma(k) & = \int_{0}^{\infty} e^{-t} t^{k-1} dt = \int_{0}^{\infty} e^{-t} k^{-1} d t^{k} \\ &=\bigg[ k^{-1} e^{-t} t^k \big..
볼테라 적분 방정식(Volterra integral equation)
수학이야기/Calculus 2019. 10. 30. 14:03
적분 방정식은 적분 기호 안에 모르는 함수가 들어 있는 방정식이다. 그 가운데 널리 알려진 아래 방정식은 볼테라 적분 방정식으로 부른다. $f(t)$는 모르는 함수이고 $g(t),h(t)$는 알려진 함수이다. $$f(t)=g(t)+\int_{0}^{t} f(t)h(t- \tau) d\tau$$ 보기 $$f(t)=3t^2 -e^{-t}-\int_{0}^{t} f(\tau)e^{t-\tau}d \tau$$ 풀이 라플라스 변환을 하자. $$\mathscr{L} \{ f(t) \}=3 \mathscr{L} \{t^2 \}- \mathscr{L}\{ e^{-t} \} - \mathscr{L} \{ f(t) \} \mathscr{L} \{ e^t \}$$ $$\begin{split} F(s) &=3 \cdot \f..

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