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수학이야기/Calculus

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실수의 차례 성질
수학이야기/Calculus 2015. 1. 12. 20:21
이 꼭지는 고등학교 수학에서 다루는 극한을 더욱 엄밀하게 다루고 싶은 이들을 위해 적는다. 극한을 제대로 다루기 위해서는 먼저 실수에 대한 엄밀한 해석이 필요하다. 여기서는 실수가 가진 차례 성질을 다음에는 완비성(completeness)를 다루고자 한다. 실수도 자연수와 마찬가지로 차례가 정해져 있다. 실수의 차례 성질(The Oder Properties of $\mathbb{R}$) 공집합이 아닌 실수의 부분집합 $P\subset \mathbb{R}$이 아래를 모두 만족하면 엄격한 양의 실수(strictly positive real number)라고 부른다. 증명없이 참으로 인정하는 최소한의 것이 성질이다. 공리와 같은 뜻으로 받아들이자.1) $a,b \in P\Rightarrow a+b\in P$2..
무한급수의 수렴, 발산 판정법
수학이야기/Calculus 2014. 11. 6. 10:46
아래와 같이 무한수열 $\{a_n\}$의 모든 항을 순서대로 합의 기호 ($+$)로 연결한 식을 무한급수 또는 간단히 급수로 부른다. $$\sum_{n=1}^{\infty} a_n =a_1 +a_2 +a_3 +\cdots+a_n +\cdots$$ 무한급수 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}$에서 첫째항부터 $n$째항까지 합 $$S_n =a_1+a_2 +a_3 +\cdots+a_n =\sum_{k=1}^{n} a_k$$ 을 부분합으로 부르는데 이 또한 수열이다. 이 수열 $\{S_n\}$이 일정한 상수 $S$로 수렴하면 무한급수는 $S$에 수렴한다고 하고 극한값 $S$를 무한급수의 합 으로 부른다. 정리하면 $$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}..
수열의 극한
수학이야기/Calculus 2014. 10. 22. 10:20
수열 $\displaystyle{a_n =\frac{1}{n}}$인 수열 $\{a_n\}$에서 $n$이 커짐에 따라 $a_n$의 값은 어떻게 달라지는지 알아보자. $$a_{n+1}= \frac{1}{n+1} 0}$이므로 $a_n$은 $0$에 한없이 가까워진다. 정의 1 : 수열 $\{a_n\}$에서 $n$이 한없이 커질 때, $a_n$이 일정한 수 $L$에 한없이 가까워지면 이 수열 $\{a_n\}$은 $L$에 수렴한다고 하며, $L$을 수열 $\{a_n\}$의 극한값 또는 극한이라고 한다. 기호로는 $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=L}$ 또는 $n\rightarrow \infty$ 일 때 $a_n \rightarrow L$ 로 적는다. 수열이 수렴하지 않..
적분이 별 거냐!
수학이야기/Calculus 2014. 8. 27. 15:48
우연히 보게 된 동영상이 재밌다.
테일러 급수(Taylor series)
수학이야기/Calculus 2014. 5. 29. 14:06
정의 테일러 급수는 어떤 점에서 무한 번 미분가능한 함수를 그 점에서 미분계수 값으로 계산할 수 있는 무한급수로 표현된 함수로 나타내는 것이다. 결과를 적으면 아래와 같다. $a=0$일 때는 맥클로린 급수라고 부른다. $$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$ (단, $f^{(n)}(a)$은 $n$계 미분계수를 나타낸다.) 함수 가운데 다항함수는 다루기 매우 쉽다. 테일러 급수는 여러 가지 함수를 다루기 쉬운 다항함수로 근사시키는 방법이다. 예로 $f(x)=\sin x$를 살펴보자. $f(x)=\sin x$와 아주 가까운 다항함수 $y=g(x)$를 찾아 나가기로 하자. 먼저 1차 함수는 아주 간단하다. $x=0$일 때, 접선의 방정식은 $y=x$..

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