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수학이야기

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비밀은 소수로 지켜라
수학이야기 2011. 4. 24. 07:46
기밀을 유지하고 싶을땐 ‘소수’를 이용하라 논리로 배우는 수학 최근 한겨레신문 스포츠 면을 보다가 우연히 눈에 띤 것은 ‘7년 기다린 그라운드의 매미, 짧게 울고 끝나진 않는다’라는 제목이었다. 또 7년이란 숫자와 매미가 소재가 되는 글이 나온 것이다. 그것은 프로축구 수원 삼성 팀의 수문장 박호진을 두고 쓴 글이다. 문지기 박호진은 대학을 졸업하고 2000년부터 수원 삼성에서 뛰었지만, 우리가 잘 아는 이운재의 벽을 넘는 게 쉽지 않았다. 그러던 그가 요즘 이운재 선수의 몸 상태가 좋지 않은 틈을 타서 선발로 출전했는데 너무 성적이 좋아서 오히려 이운재 선수를 벤치로 밀어내고 있다는 글이었다. 그런데 기자는 왜 그를 매미에 비유했을까? 이것을 이해하기 위해서는 약간의 수학적 배경 지식이 필요하다. 즉,..
순열(permutation)에서 조합(Combination)으로
수학이야기/확률통계 2011. 4. 23. 11:14
순서가 있는 것에서 없는 것으로 경우의 수를 세는 방법 가운데 바탕이 되는 것은 순열과 조합이다. 그 가운데에서 순열이 밑바탕이다. 먼저 `1,2,3,4,5`로 만들 수 있는 다섯자리 자연수는 몇 개일까? $5!$이다. 이 가운데 셋을 뽑아 만들 수 있는 자연수는 아래와 같이 `5×4×3`이다. 이를 기호로 $\displaystyle{{}_5 P_3}$이라고 적는다. 이것은 다섯자리 자연수 일의 자리와 십의 자리 수를 모두 `0`으로 바꾼 것과 같으므로 $\displaystyle{\frac{5!}{2!}}$이다. 이와 같이 순서가 있는 것을 순서가 사라지도록 만들려면 같아지는 개수로 나누는 것이다. 이를 일반화하면 $\displaystyle{{}_n P_r =\frac{n!}{(n-r)!}}$ 이다. 같..
뷔퐁의 바늘문제(Buffon Needle)
수학이야기/미적분 2011. 4. 8. 12:45
프랑스 수학자 뷔퐁(button. 1707~1788)이 낸 바늘 문제를 풀어 보자. 떨어진 거리가 같은 평행선들이 그어진 마룻바닥에 바늘을 떨어뜨렸다. 바늘이 금에 닿을 확률은 얼마인가? 평행선 사이의 거리를 `D`, 바늘의 길이를 `L`이라고 하자. 바늘의 중심에서 가까운 직선까지의 거리를 `d` 바늘과 직선이 이루는 각을 `\theta`라고 하자. 표본공간 `S`는 $$S=\{(d, \theta )| 0\leq d\leq \frac{D}{2}, 0\leq \theta \leq \pi \}$$ 구하는 확률은 사건 `A` 일 때이므로 $$A=\{(d, \theta) | 0 \leq d \leq \frac{L}{2} \sin \theta , 0\leq \theta \leq \pi \}$$ $$P(A)=\f..
가브리엘의 나팔(Gabriel's Horn)
수학이야기/미적분 2011. 4. 7. 16:50
수학자들이 만들어낸 가브리엘의 나팔이 있다. 토리첼리의 트럼펫(Torricelli's trumpet)이라고도 부르는 이 나팔을 부는 곳은 하늘에 있고 소리는 땅에서 난다. 이것은 곡선 $\displaystyle{y=\frac{1}{x}}$을 구간 $[1,\infty)$에서 $x$축을 중심으로 회전하여 만들어지는 나팔이다. 부피와 겉넓이를 구해보자. 먼저 `[1,t)`까지 부피와 겉넓이를 구한 다음 극한을 생각하자. $$V_{t}=\pi \int_{1}^{t}\frac{1}{x^2}dx=\pi\bigg[-\frac{1}{x}\bigg]_{1}^{t}=\pi \bigg(-\frac{1}{t}+1 \bigg)$$ $$S_{t}=2\pi \int_{1}^{t}\frac{1}{x}\sqrt{1+\bigg( - \..
카발리에리 적분
수학이야기/미적분 2011. 4. 5. 15:12
카발리에리의 원리 이탈리아의 수학자 카발리에리(Cavalieri.F.B.: 1598~1647)가 찾아낸 원리가 구분구적법과 정적분을 이어주고 있다. 그가 쓴 책 [불가분량의 기하학]에 카발리에리의 원리라고 불려지는 정리가 있다. 이와 비슷한 방법으로 고대 아르키메데스와 같은 이들이 구의 부피를 구했다고 하니 무척이나 놀랍다. 두 입체를 하나의 정해진 평면과 평행한 평면으로 잘랐을 때, 부피의 비는 그 잘린 면 넓이의 비와 같다. 그림 1은 반지름이 `r`인 구이고 그림 2는 밑면 반지름과 높이가 모두 `r`인 원기둥에서 직원뿔을 잘라낸 입체이다. 이 두 입체를 밑면에 평행인 평면으로 높이 `h`인 곳을 자른 면은 넓이가 같다. `\pi (r^2 - h^2 )` 따라서 부피도 같다. 반구의 부피 $V$라고..

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