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가우스 정17각형이 작도 가능함을 보이다
수학이야기/기하벡터 2015. 4. 1. 13:31
작도는 눈금 없는 자와 컴파스만으로 도형을 그리는 일이다. 그리스 수학에서 시작한 작도는 오랫동안 기하학의 기본이었다. 유클리드 '원론'은 작도로 증명하는 것과 마찬가지다. 간단한 증명을 보자. 원론 1권 명제 1 정삼각형을 그릴 수 있다. 명제 2 주어진 점에서 시작하여 주어진 선분과 같은 선분을 그릴 수 있다. 명제 1에서 증명한 바에 따라 점 $D$를 작도하고 직선 $DA$, $DC$를 긋는다. $A$를 중심으로 반지름 $\overline{AB}$인 원을 그려 점 $F$를 찾고 점 $D$를 중심으로 반지름 $\overline{DF}$인 원을 그린다. $\overline{AD}=\overline{CD}$이므로 $C$를 중심으로 반지름 $\overline{CG}$인 원을 그리면 $C$에서 시작하는 주어..
힐베르트 공리(Hilbert’s axioms)
수학이야기 2015. 3. 31. 17:08
이글은 위키피디아 힐베르트 공리를 우리말로 옮긴 것입니다. 유클리드 ‘원론’은 오랫동안 가장 모범적인 수학 교과서였다. 그러나 완벽한 것은 없는 법 훗날 ‘극한’ 개념이 확립되면서 부족한 부분이 발견되었다. 힐베르트는 1899년 저서 ‘기하의 바탕(Grundlagen der Geometrie : The Foundations of Geometry)’ 유클리드 기하를 현대적으로 다루기 위해 부족한 공리를 채울 것을 제안하였다. 처음에 공리 21개를 제안했지만 후에 무어가 다른 공리로 공리 하나를 증명하여 오늘날을 20개 공리가 남아 있다. 힐베르트 공리는 여섯 가지 기본 개념으로 만들었다. 세 가지 기본 용어 점 (point) 선 (line) 면 (plane) 세 가지 기본 관계 사이 (Betweenness..
수학자 연표
수학이야기 2015. 3. 26. 13:44
수학자를 태어난 순서로 배열해 보고자 한다. 참고 수학사 연표 수학의 역사 피타고라스 (Pythagoras:BC 570 쯤~BC 495 쯤) 어지간한 사람은 피타고라스 정리를 알고 있다. 그리스 사모스에서 태어나 대충 75년을 살았음. 유클리드 (BC 300 쯤) 알렉산드리아의 유클리드는 기하학의 아버지로 불림. 이 전에 성취했던 기하학을 모두 모아 불후의 명작 "원론"을 남김. 아르키메데스(Archimedes: 287 BC 쯤 – 212 BC 쯤) 에라토스테네스 (Eratosthenes:c. 276 BC – c. 195/194 BC) 지구의 둘레 측정하고 계산하였다. 소수를 찾아내는 알고리즘을 정리했다. 아폴로니우스 (Apollonius Pergaeus; 262 BC 쯤– 190 BC 쯤) 두 정점에 ..
포비 스킨 공개
사는이야기 2015. 3. 5. 20:23
이 블로그에서 쓰고 있는 스킨을 공개합니다. 디자인은 꾸밈이 거의 없도록 하였고 수학 관련 이야기를 쓰기 위해 수식을 입력할 수 있게 만들었습니다. 텍( )이나 라텍( ) 구문을 씁니다. 전에는 1단으로 만들었는데 분류가 아래에 있어서 수업시간에 보여주기 불편했습니다. 사이드바를 고정한 2단이고 내용과 사진 가로 720px입니다. 저처럼 수학에 대한 글을 많이 올리는 사람에게 도움이 될까하여 부끄럽지만 공개합니다. 반응형으로 만들고 싶으나 공부가 부족해 포기하고 어지간한 것을 모두 덜어냈습니다. 디자인에 뛰어나신 분이 고쳐서 널리 퍼지면 좋겠습니다.
소수는 무한하다
수학이야기 2015. 2. 8. 21:14
정의 정수 $p>1$가 약수가 오로지 $1$과 $p$ 뿐이라면 소수(prime number)라고 부른다. 소수가 아닌 수는 합성수(composite)이다. $1$은 소수도 합성수도 아니다. 정리 $p$가 소수이고 $p|ab$이면 $p|a$ 또는 $p|b$이다. 증명 $p|a$라면 더 따질 필요가 없으므로 $p\not|a$라고 하자. $p\not|a$이면 $gcd(p,a)=1$이다. ($\because\;p$가 소수이므로 $gcd(p,a)=p$ 또는 $gcd(p,a)=1$) 그러므로 $p|b$이다. 따름정리 1. $p$가 소수이고 $p|a_1 a_2 a_3 \cdots a_n$이면 어떤 $k$에 대하여 $p|a_k \;\;(1\leq k\leq n)$이다. 따름정리 2. $p,q_1 , q_2, q_3 ,..

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